實際上到目前為止，我們的線性代數學習，都是理解概念為主，真正涉及到計算還比較少，當然以後會有一些矩陣的計算。理解概念講究準確且通俗易懂，這也是我們這一系列文章的初心。
今天呢我們先學習一下與多項式有關的一些知識，休息一下，（其實學習多項式也是打基礎）明天再開始很重要的一章：本徵值和本徵向量。
4.1次數和根
我們規定多項式的次數就是次數最高項的次數，這很便於以後的深入。
根實際上就是使得多項式的值等於0的自變量的值。也可以說是方程的解。
大家對這兩個概念應該比較熟悉，因為初等數學的代數部分就一直在講這兩個事情嘛，我們直接來看要學習的新的定理。
4.2根的存在引理
命題：設p∈P(F)是m次多項式： m≥1.令λ∈F,則λ是p的根若且唯若存在m-1次多項式q∈P(F)使得p(z)=(z-入)q(z)，z∈ F。
證明：證明的一個方面是顯然的，即假設存在多項式q∈P(F)使得等式成立，則
p(λ)= (λ- λ)q(λ)=0,因此λ是p的根。
要證明另一個方面，就比較複雜了。
設λ∈F是ρ的根.令a0，……，am∈ F,使得am≠0並且
因為p(λ)=0,所以
兩式相減：
現在我們告訴大家一個重要的事實：對於任何n，a^n-b^n可以分解出a-b；a^n+b^n只有n為奇數的時候可以分出a+b。所以請看：
這就得證了。
證明了多項式根是怎麼存在的，我們再來證明多項式最多有多少個根：
4.3多項式最多可以有多少個根？
p∈P(F)是m次多項式，m≥0,則p在F中最多有m個互不相同的根。
這麼巧合？還真是！
證明：若m=0,則p(z)=a0≠0,故p沒有根。若m= 1,則p=a0+a1*z,其中a1≠0,故p恰好有一個根，即-a0/a1。現在設m> 1。對m用歸納法，假設每個m- 1次多項式最多有m-1個不同的根。如果p在F中沒有根，則結論成立。如果p有一個根λ∈F,則由4.1,存在一一個m-1次多項式q使得
p(z)=(z一λ)q(z)，z∈ F。
上面的等式表明：若p(x)=0,則z= λ或者q(z)=0.也就是說，p的根是由λ和q的根組成的。由歸納法假設： q在F中至多有m- 1個不同的根.因此p在F中至多有m個根。
歸納法：歸納法是我們解決與正整數有關的命題的一種策略，即我們先證明第一項成立，然後假定第k項成立的時候去導出第k+1項成立。那就對所有正整數成立。