hi，大家好，我是略懂，因為註冊頭條號的時候顯示「略懂已存在」，好吧，那我的ID就是「略懂已存在」。疫情嚴重，大家不如和我一起學習吧。歡迎大家關注我來查看往期文章，一起交流如何學習線性代數。
言歸正傳，昨天實在太困了，就沒說線性映射為什麼不具備交換性，來，我們今天給出一個例子看一下，順便幫大家複習一下。
線性映射不具備交換性的例子
懂了吧！大家自己也可以舉一些例子。自己舉例子實際上也是一種很好的學習方法哦！
2.10零空間
對於T∈L(V,W),V中被T映成0的那些向量所組成的了集稱為T的零空間(null space), 記為nullT:
nullT={v∈V :T(u)=0}.
來看前一節的幾個例子. 在微分的例子中,我們用Tp= p'定義了T∈L(P(R),P(R))。只有常函數的導數才是零函數，於是,在此情況下, T的零空間等於常函數之集。
在x^2乘的例子中，我們用(Tp)(x) = x^2p(x) 定義了T∈L(P(R),P(R)).滿足x^2p(x)=0(r∈R)的多項式p只有0這個多項式（常數也算多項式哦）。於是，在這種情況下我們有
nullT= {0}。
在後向移位的例子中，我們用
下一個命題證明了線性映射的零空間是定義域的子空間特別地，0包含於每個線性映射的零空間.
命題:若T∈L(V,W),則nullT是V的子空間.
證明:設T∈L(V, W).由加性可得
T(0)= T(0+0)= T(0) + T(0),
從而T(0)=0.於是0∈mullT.
如果u,v∈nullT,那麼
T(u+v)= T(u)+T(v)=0+0= 0。
這裡，就像我們高中一開始學習函數一樣，f(0)通常在解題或者證明中都很特殊，nullT也一樣。
從而u+v∈nullT.於是nullT對加法封閉。
如果u∈nullT, a∈F,那麼
T(au)=aT(u)=a0= 0,
從而au∈nullT.於是nullT對標量乘法封閉，
我們已經證明了T的零空間包含0,並且對加法和標量乘法都封閉，因此，nullT是V的子空間.
2.11值域
線性映射T:V→W稱為單的(injective),如果當u,v∈V, Tu= Tv時，必有u=v.下一一個命題表明，為了驗證線性映射是單的，只需驗證0是唯一一個被映成0的向量.作為這個命題的一個簡單應用，我們看到,本節前面計算零空間的三個線性映射(微分、x^2乘、後向移位)中只有x^2乘是單的.
命題:設T∈L(V,W);則T是單的若且唯若nullT= {0}.
證明:首先假設T是單的.我們要證明nullT= {0}.已知{0}∈nullT。 為了證明另一個方向的包含關係，設v∈nullT,則
T(v)=0= T(0).
因為T是單的，故由.上式可得σ=0.於是nullT- {0}.
反之，假設nullT= {0}.我們要證明T是單的。為此，設u,v∈V,並且Tu=Tv,那麼
0=Tu- Tv= T(u-v).
於是u-v含於nullT= {0}.因此u-v=0，即u=v故T是單的.
對於T∈L(V,W),由W中形如Tv(v∈V)的向量所組成的子集稱為T的值域(range), 記為rangeT:
rangeT= {Tv:v∈V}.
例如，若T∈L(P(R),P(R))是由Tp= p'所定義的微分映射，則rangeT=P(R).這是因為，對於每個多項式q∈P(R)都存在多項式p∈P(R)使得p'=q.