學好線性代數,我推薦這本書|展卷

撰文 | 林開亮

來源：好玩的數學

本書作者阿克斯勒之所以要打倒行列式，可能主要是想突出線性代數的本質方面是概念而非計算。正是出於對後一個看法的支持，促使我在這裡向讀者推薦這本書。

人民郵電出版社，2016年

作者謝爾登·阿克斯勒（Sheldon Axler）和他的貓，取自其個人主頁http://www.axler.net/

在中國，線性代數一般等同於矩陣論，這主要是受華羅庚先生的影響，他的矩陣功底爐火純青，因此他的學生曾肯成教授這樣說：「龍生龍，鳳生鳳，華羅庚的學生會打洞。」所謂「打洞」，就是用相似變換或其它矩陣變換將矩陣化成標準型（其中有很多元素為0，即「洞」）。據華羅庚的另一得意弟子陸啟鏗院士講，當初邀請華羅庚訪問美國普林斯頓高等研究所的外爾（H. Weyl）曾這樣評價：「華羅庚玩矩陣就像玩數字一樣得心應手。」大概是陸啟鏗先生的話被人聽岔了，做出這一評價的外爾教授，有時被訛傳為韋伊（A. Weil）。稍微了解韋伊的人都知道，他不可能說這話。為什麼呢？因為韋伊是法國布爾巴基學派的靈魂人物，他跟謝瓦萊（C. Chevalley）都致力於消除代數中的行列式、結式等計算性的概念，而華羅庚是以矩陣計算見長，絕非韋伊所欣賞的風格。這裡有羅塔(Gian-Carlo Rota)教授在1988年提供的證詞 (見其文章Fine Hall in its golden age: Remembrances of Princeton in the early fifties,收入A Century of Mathematics in America, Part III, History of Mathematics, Volume 3, P. Duren, Ed., pp.223-236, American Mathematical Society, 1989. http://www34.homepage.villanova.edu/robert.jantzen/princeton_math/pmcxrota.htm)：

即便是本科生的線性代數教學，也留下了阿廷（E. Artin）清晰可見的印記：他在我們面前從來絕口不提基和行列式（考慮到他是那麼喜歡計算，這真是奇怪的禁令）。阿廷的盟友，謝瓦萊和韋伊，竭盡全力將行列式和結式驅逐出代數。每每想到革命尚未成功，九泉之下的兩位（註：指1962年過世的阿廷和1984年過世的謝瓦萊，韋伊也在1998年過世）可能都無心睡眠。

在這方面，韋伊和謝瓦萊的先驅，正是羅塔這裡所提到的阿廷。荷蘭數學家範德瓦爾登（van der Waerden）曾根據阿廷和諾特（E. Noether）的講義，寫成抽象代數的經典名著《近世代數》（後來更名為《代數學》，有中譯本，科學出版社），此書直接刺激了布爾巴基學派的誕生。希爾伯特（Hilbert）、諾特、阿廷是近世代數的先驅，近世代數的思想一度在德國盛行。特別地，受到量子力學的刺激，馮·諾依曼（von Neumann）將這一思想應用到無限維空間的泛函分析中，導致了線性代數的幾何化。這方面的第一本書，就是馮·諾依曼在普林斯頓高等研究院的助手哈爾莫斯（P.R. Halmos）根據他的講義寫成的《有限維向量空間》（Finite-Dimensional Vector Spaces）。該書1942年出版，之後多次再版，現已成為經典（期待有朝一日能夠引進中譯本，這是筆者心目中獨一無二的線代數聖經）。

眼下這本《線性代數應該這樣學》（Linear Algebra Done Right 第三版），可以說，基本上是按照《有限維向量空間》的精神寫的一本新書。這毫不奇怪，作者是聖弗朗西斯科州立大學數學系的教授阿克斯勒（Sheldon Axler）。他是哈爾莫斯的徒孫，中間的連結是薩拉森（Donald Sarason）。阿克斯勒寫作這本書，可以追溯到他在1995年發表在《美國數學月刊》上的一篇闡述性文章《打倒行列式！》（Down with determinants!），該文次年獲得了美國數學協會頒發的 Lester R. Ford 寫作獎。標題取名為「打倒行列式! 」，也許在中國的讀者看來，有點不可思議！因為在通行的線性代數教科書中，行列式通常放在一開頭講的，如果直接扔掉了，後面還怎麼講？事實上，這是完全可以做到的，《線性代數應該這樣學》就做到了這一點。在全書中，跡和行列式是最後一章，而之前講完了線性代數所有其它內容（尤其是作為矩陣靈魂的特徵值與特徵向量），根本不需用到這兩個概念！

阿克斯勒之所以要打倒行列式，可能主要是想突出線性代數的本質方面是概念而非計算。正是出於對後一個看法的支持，促使我在這裡向讀者推薦這本書。

如前所說，線性代數的教學分兩派：一派注重代數計算，以華羅庚先生為代表，這條線最終可溯源到美國的代數與數論學家迪克森(L. E. Dickson) ，中間的連結是楊武之教授（楊振寧的父親，把近世代數和數論引進到中國）；一派注重幾何直觀，以哈爾莫斯為代表，最終追溯到諾特和阿廷，中間的連結是馮·諾依曼。雖然我本人經受的課堂訓練是偏計算的(教材用北大的經典《高等代數》，它以丁石孫先生的《高等代數簡明教程》為藍本，丁先生在自傳中說他借鑑了蘇聯斯米爾諾夫的《高等數學教程》；課堂之外，我的高等代數老師、天津大學數學系田代軍教授指引我去讀華羅庚、萬哲先的《典型群》以及雅各布森（N. Jacobson）的抽象代數著作)，然而只是在我後來用哈爾莫斯的《有限維向量空間》重新學了一遍線性代數以後，我才敢說我對線性代數有了一點底氣。我希望我說這話時，你不要認為我是在吹牛，我甚至希望這話能得到專業人士的認可，因為我在博士論文中的部分工作，就是用阿廷、馮·諾依曼、哈爾莫斯那一派的幾何觀念和方法，完善了華羅庚先生1947年的一項純代數的矩陣工作。因此可以說，我是華羅庚先生和哈爾莫斯教授兩派結合的產物。

代數計算將線性代數機械化了（我有一次在打桌球時感覺每一次回球就像在做一次初等變換），同時也變得有點無聊。我常常有一種天真的想法，也許可以考慮用吳文俊先生倡導的數學機械化，將華羅庚學派爐火純青的打洞技術給實現了！

要想讓線性代數生動起來，除了介紹一些精彩應用的例子外，一個可行的辦法是強調幾何的語言。幾何的語言，自然是相對於代數的語言而說的。簡單講，就是用線性變換代替矩陣, 用抽象向量代替列向量。幾何語言的優點是簡潔明快，例如「作用（action）」這個詞給人的感覺就是如此。代數語言的好處是具體清晰，兩個矩陣「相乘」在我們頭腦中的圖象，是一系列具體運算的運作。通常的教科書往往過分強調了代數的語言，這同時也充分暴露了其諸多弊端。最大的缺點在於容易將幾何淹沒於代數。而且，在很多問題中坐標的選取並不重要，我們所需要的往往只是一些基本的運算規律, 例如分配律、結合律等。這時抽象的幾何語言就十分適用了，例如在內積空間的理論中，我們往往採用幾何語言。其實，數學家正是靠這種幾何觀點來指引具體的代數運算的，例如所謂Gram-Schmidt正交化，無非就是將第二個向量沿第一個向量作垂線（從三角形的一個頂點往底邊引高線），一旦指出這一點，Gram-Schmidt正交化的公式就很容易理解了。更近一步，理解Cauchy-Schwarz不等式就是水到渠成的了：它所對應的，無非是這樣一個熟知的幾何事實：直角三角形的直角邊長不超過斜邊長。

我要指出，我這裡並非說代數計算不好，我想強調的是，要儘可能在幾何直觀的指引下做代數計算。我覺得借用阿廷在其名著《幾何化的代數》（Geometric Algebra, 1957年出版）一書中的一句話來評論阿克斯勒的《線性代數應該這樣學》再好不過了：

我的經驗是，一個用矩陣進行的證明，如果你拋開矩陣的話往往可以使這個證明縮短一半。有時，這一點是辦不到的，你需要計算一個行列式。

我將阿克斯勒的這本書鄭重推薦給所有想重新從幾何的觀點看待線性代數的朋友，所有想從零開始學習線性代數的朋友。該書繼承和發揚了哈爾莫斯《有限維向量空間》的幾何化特色，以幾何引代數，以概念指導計算！它會告訴你，線性代數不僅僅是矩陣論，或者更恰當地說，從幾何的觀點看，線性代數和矩陣論原來可以很簡單！你不再需要-矩陣，不再需要分塊矩陣，更不必擔心複雜的行列式計算會擋住你前行的道路！而且，額外的好處是，一旦熟悉了這種幾何的觀念和思維，當你應用線性代數和學習泛函分析時會更加得心應手。

根據我的經驗，要使線性代數在你心中紮根，你需要讀哈爾莫斯的Finite-Dimensional Vector Spaces。如果你還不習慣讀外文教材，那麼阿克斯勒的《線性代數應該這樣學》中譯本在目前是首選。

下面我們簡單介紹一下本書的內容。全書共十章，其中三章講向量空間(1,2,6)， 一章講多項式(4)，六章講線性映射（其餘）。第一章講向量空間，

引出線性空間的一般概念。向量空間是線性代數演出的舞臺。(記得我博士畢業找工作時面試高校教師時抽到的一刻鐘試講題目，就是向量空間。）第二章講有限維向量空間，維數是向量空間的基本不變量，藉助基與坐標映射可以給出抽象向量空間到列空間的同構。限制於有限維的好處是，所有的運算都是有限的代數運算（不會涉及無窮）。現在舞臺搭好，主角要出場了，第三章給出線性映射的基本概念。線性映射是向量空間之間的自然映射，在基底下體現為矩陣。給定一個線性映射，就誘導出兩個重要的子空間，核空間與像空間。線性映射的基本定理 (3.22節）給出了這兩個子空間的維數關係。(這樣一個定量關係，其實可以用線性方程組的基本定理來描述。) 這個基本定理只是對線性映射給出了最粗略的描述，為了更精細地觀察線性映射，我們需要將它分解為簡單的線性映射。為此，一個有效的工具是多項式，這是第四章的主題。這個概念其實不屬於線性代數，但它的理論可

特徵子空間的直和。(特徵值與特徵向量是觀察線性變換的最佳視角，不過並非所有的線性變換都可以完全通過特徵向量刻畫）。第六章討論內積空間。內積空間中因為賦予了可以度量長度、角度等幾何觀念的內積，從而拓展了中學階段所熟悉的平面向量和空間向量的幾何知識，例如勾股定理、正交投影等。但這不只是簡單地重新喚醒我們的記憶，讓我們將向量幾何從二維三維推廣到高維；現在有了前面關於向量空間與線性映射的概念，自然我們就要問，內積空間的不變量如何刻畫？這就自然引出正交變換的概念，最終我們發現，原來正交變換（以及平移變換——注意它一般不是線性變換）就是我們中學所學習的全等（也稱為歐幾裡得運動）概念的實質。（在中學時，我從未了解到，平面上兩個圖形全等的真正含義是，存在平面上的一個全等變換可以將其中一個圖形一一映射成另一個圖形。）第7章的主題是譜定理，主要的結果是內積空間上的對稱變換可正交分解為一些伸縮變換的直和。這是線性代數最核心的結果。據我分析，每年高等數學考研線性代數兩道大題，分別考察線性方程組的基本定理與實對稱矩陣的譜定理。遺憾的是，我接觸到的一些迎考學生甚至在線性代數課程中都沒有學過譜定理！在我看來，對大部分學生，線性代數至少要學到這裡，還應知道正交變換的譜定理——因為只有知道了旋轉與反射的幾何圖景，你才會與全等變換的直觀印象聯繫起來，代數與幾何才合二為一。就我個人來說，我真的是學完第2遍線性代數才明白我們通常說的三維空間的旋轉是什麼含義！

致敬科比（單指轉球可以看成三維空間的一系列旋轉）

第8章講復向量空間上的線性變換的標準型，第9章講實向量空間上線性變換的標準型，它們都是線性代數中的經典結果，要用到諸如廣義特徵向量之類的概念。不過對一般讀者來說，也許你知道有這麼一回事就可以了，畢竟通常呈現在你眼前的線性變換（或矩陣）都是比較簡單而特殊的，用不到如此一般的系統理論。第10章是跡與行列式，這是線性變換的兩個基本不變量。行列式比跡要複雜，所以放在後面。我的朋友吳帆在線性代數教學方面頗有心得，他曾說過，任何一本線性代數教材，如果一開頭就講行列式，學生基本上就學不會線性代數了。我想，這正是國內許多人學不會線性代數的原因吧。因此，我們特別提醒那些想學會線性代數的讀者，如果你不想一開頭就被行列式弄頭大，不妨選擇我們推薦的這本書。

對了，各章開頭插入的精美彩圖也會令你眼前一亮，心嚮往之！我們僅取第一章和最後一章的兩幅插圖為證！

第一章插圖：笛卡兒（右一）在向瑞典女王克裡斯蒂娜講解自己的工作

第十章插圖：英國數學家和計算機科學先驅艾達·洛夫萊斯

本書的前兩版曾在美國近300所院校作為教材使用，作者因此收到了成千上萬條反饋意見，可以想見，第三版將何等卓越。奇文共欣賞，疑義相與析。預祝你們閱讀愉快，有疑問不妨直接與作者聯繫，據我的經歷，阿克斯勒非常歡迎讀者給他提意見與建議。

註：正規矩陣（normal matrix）是一類重要的矩陣。此處的笑點在於，normal 在英文中是「正常」的意思。所以，如果要真正體現出幽默來，可能要將「正規矩陣」翻譯為「正常矩陣」。請允許我多說一句，可以說，正規矩陣的譜定理（各個版本）是線性代數中最重要的一個定理。

溫馨提示1：雖然這本書中穿插著一些幽默的圖片與言論（如上圖,取自原書7.B節習題15，題目是求圖片中第一個矩陣被擋住的右下角元素。），但它更適合比較嚴肅的讀者，特別是數學系的學生。讀完這本書，再接觸抽象代數（如小阿廷（M. Artin）的著作），應該會比較容易。對於非數學專業的學生，我想可能你們會更適應MIT數學系教授Gilbert Strang的線性代數教材和公開課視頻。我想這兩本書的差別可以概括為：本書重線性映射的理論，從不變量的角度以幾何的觀點考察線性代數；Strang的書重矩陣的應用，強調具體計算以詮釋線性代數的種種應用。簡單說，如果你更喜歡線性映射之類的幾何語言，那麼用本書；如果你更習慣矩陣之類的代數語言，用Strang的書。當然，並無絕對，本質上線性代數是代數與幾何的統一，兩種觀點都是需要的。Strang的個人主頁為http://www-math.mit.edu/~gs/溫馨提示2：《線性代數應該這樣學》原書在2016年出版了一個刪節版，可以在作者的個人主頁免費下載，http://linear.axler.net/LinearAbridged.pdf溫馨提示3：作者製作了本書的音頻（帶幻燈片），有興趣的讀者可以瀏覽：https://www.bilibili.com/video/av63561127/致謝：感謝美國南密西西比大學丁玖教授和付曉青博士對初稿提出了有價值的建議！原文出自《數學文化》，推送時略作修訂。

作者簡介：林開亮，首都師範大學基礎數學專業博士，現任教於西北農林科技大學理學院。

本文經授權轉載自微信公眾號「好玩的數學」。

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