上次寫過一篇如何學習「微積分」，把握住關鍵的概念，基本的思想和方法——極限。可參考要想學好微積分，吃透「極限」概念是必要條件
這次寫一下高等代數或者線性代數應該怎麼理解「矩陣」等抽象的概念。
線性代數主要有兩個重要的概念，行列式和矩陣，且兩個概念有些相似性；行列式本質上是一種運算，而矩陣是一個數組，可以被看成有多個行或列向量組成。有些教材從線性方程組入手，介紹消元法，n維向量空間，線性相關性以及矩陣，然後是矩陣的秩、線性方程組解的判定定理，解的結構。學完這部分內容，基本上可以認為線性方程組的問題似乎是完全解決了的。尤其要注意的是向量空間和矩陣是新概念，解線性方程組作為矩陣的一個具體應用引入是非常合適和自然的，要適應這一新的工具。而消元法就是高斯消元法，這在初中的時候就已經有過接觸了。
數學的學習是個認知結構建構的過程，而對於陌生的n維向量空間和矩陣兩個概念，對很多人來說有點陌生，甚至感覺很抽象，要把這兩個概念納入認知結構，首先考慮一下有沒有學過什麼知識是和它們相關的呢？其實是有的，可以聯想到向量，以及高中學過的解析幾何，做一下類比。
平面向量基本定理：如果兩個向量a,b不共線，那麼向量p與向量a,b共面的充要條件是：存在唯一實數對(x,y)使得p=xa+yb。空間向量基本定理：若存在三個不共面的向量a,b,c，那麼對空間任一向量p，存在唯一一組實數(x,y,z)使得p=xa+yb+zc。
在平面中，一個直角坐標系的兩個坐標軸就不共線，分別與兩個坐標軸平行的單位向量i,j當然也不共線，那麼在該直角坐標系下的任何向量p都可唯一的寫成p=xi+yj。同時，該平面內的所有向量，就組成了一個2維的向量空間，而其中不共線的兩個向量就是一個極大線性無關組，可以把這兩個不共線的向量寫成矩陣的形式(每行一個向量)，那麼該矩陣的秩就是2。
平面內任何的向量都可以由兩個不共線向量線性表示，也即可以由一個2維矩陣乘以一個列向量來表示，而解方程組的問題正是尋找這個表示；而如果只是取一個非零向量a,那麼與其不共線(垂直)的向量b就不能由a表示，只能表示與其平行的向量；比如矩陣A=[a;a]，此時秩為1，那麼Ax=b，當b不平行a，無解；當平行時，有一系列的解。2×2矩陣對應平面向量空間，即2維向量空間。
當給平面直角坐標系再加一個坐標軸時，向量編成三維數組，由空間向量基本定理可知3維向量空間的最大線性無關組的個數是3，對應的矩陣的秩也是3。而這種推廣到n維向量空間也是同樣成立的。3×3對應空間向量空間，即3維向量空間。
於是可以理解矩陣與向量空間的關係了，向量空間抽象成矩陣後，就可以研究矩陣啦！3種初等變換，在向量空間中，分別對應放大縮小，旋轉，平移，這在平面或3維空間中較為直觀。例如：平面中的任何一個向量a可以經過放縮、平移、旋轉，得到平面內的任何向量b，而放縮、平移、旋轉對應三種初等矩陣變換，三種變換「複合」之後得到一個矩陣A，於是Aa=b。
然後引入線性空間的概念，維數、基、坐標、子空間、以及子空間的和與直和，最後指明同維線性空間同構。維數就是向量空間最大線性無關向量組中向量的個數n，基就是n個線性無關的向量，坐標就是使用基線性表示一個向量的係數……，而線性空間同構正是指明了線性空間的公理化，只要符合那線性空間的那8條，研究的對象就具有了線性空間的共性，於是討論它們的思路統一為：基——坐標——維數——同構。再在線性空間的基礎上，通過用公理化的方法定義內積，就進一步引入歐氏空間。
兩個n維線性空間之間可以互相轉換，於是引入線性變換，而變換隻需考慮兩個空間的基之間的變換即可，這種變換對應的是一個n維的矩陣，而這種線性變換本身又構成一個空間。
以平面和立體空間直角坐標係為具體實例，來理解線性代數，是非常準確的切入點，這樣理解才能理解透徹，熟練掌握！