則稱 B 為 A 的逆, 且記為 A^{-1}. 由此定義, 我們可以得到 A 可逆的充要條件為 |A|≠0, 並且也可以得到 A^{-1} 存在時必唯一, 即
但是通過伴隨矩陣計算 A^{-1} 顯得太過繁瑣. 而利用分塊矩陣的性質, 我們知道 P(A,E)=(PA,P), 於是當 PA=E 時, 有 P=A^{-1}, 進而 (PA,P)=(E,A^{-1}), 這說明只需要對 (A,E) 進行初等行變換, 將 A 的位置變換為 E, 則 E 的位置就變成了 A^{-1}, 這就是計算 A^{-1} 的簡便方法. 再回顧一下前天的內容:
了解了分塊矩陣 {O,B;A,O} 的逆為 {O,A^{-1};B^{-1},0}, 即可解答如下問題:
考研更注重靈活應用, 還有很多題目求逆有更加簡便的方法, 比如今天的每日一題就是考研當中常見的幾個特殊例子:
根據 AA'=(a^2+b^2+c^2+d^2)E, 所以取行列式可得
|A|^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)^4.
|A|=±(a^2+b^2+c^2+d^2)^2.那到底是取 + 還是取 - 呢? 我們可以通過令 b=c=d=0 得到
這就是計算 |A| 的簡便方法, 而對於 |B|, |C|, 直接計算也並不繁瑣.
我們知道矩陣沒有除法, 但是在強化講義上, 揚哥分享了求逆的分式思想, 這本質上是一種錯誤的方法, 是絕對不能寫在答題紙上的! 但對於某些題目, 這種思想有助於我們快速得到矩陣的逆.
與此類似的還有如下華東師範大學 2014 年的問題:
其實這類問題還有如下推廣(來自丘維聲《高等代數創新教材》):
另外, 利用分式思想還可以輕鬆記住如下結論:
由此可以解答如下的例子, 請大家思考一下...
最後, 揚哥指出: 矩陣的逆可以表示原矩陣的多項式, 更近一步還可以得到 伴隨矩陣也可以表示成原矩陣的多項式, 具體如下:
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