深度解析可逆矩陣與等價矩陣的區別與聯繫

儘管你可能會計算一個具體矩陣的可逆矩陣，但是你知道這種做法背後的原理嗎？

儘管你對等價矩陣的定義背誦如流，但是你知道如何快速判斷兩個矩陣是否是等價矩陣嗎？

儘管從一個矩陣變換到可逆矩陣、等價矩陣的過程中，都涉及到矩陣的初等變換，但是你知道兩者涉及到的初等變換的區別嗎？

小編在本文將對上述問題進行詳細地闡述。

1.可逆矩陣

首先來看可逆矩陣的定義：

對於上述定義，大家一定要注意以下幾點：一、如果一個矩陣不是方陣，那麼這個矩陣不可能是可逆矩陣；二、對於n階矩陣A和B，只需要滿足AB=E或BA=E，即可證明矩陣A和矩陣B為可逆矩陣！

2.可逆矩陣求法的原理

對於一個具體的n階可逆矩陣，常常採用初等變換的方法求其逆矩陣。

以三階矩陣為例進行說明。

相信大家都知道採用如下的方法進行求解。將一個矩陣A與單位矩陣E並排放在一起，然後全程用相同的初等行變換，將矩陣A化為單位矩陣，而矩陣E則化簡成了矩陣A的可逆矩陣。儘管大家都會用，但是你們知道其原理嗎？

小編現在簡要解釋這種方法的原理。

可以清晰地看到，矩陣A通過2次初等行變換得到單位矩陣E，單位矩陣E通過相同的兩次初等行變換得到B。解釋過程如下：

同理，可以用初等列變換來求矩陣A的可逆矩陣。大家可以自行嘗試！

不過小編在這裡要強調三點：一、用上述方法求可逆矩陣時，要麼全程用初等行變換，要麼全程用初等列變換，不能摻雜著用！二、每次只進行一次初等變換，不要一次進行多次初等變換！因為再用這種方法求可逆矩陣時，矩陣比較龐大，一次只進行一次初等變換能夠大大減少錯誤率。三、推薦全程使用初等行變換，而不要用初等列變換，因為在求線性方程組中只能用初等行變換！

在第1節最後小編稍加解釋，在用這種方法求可逆矩陣時，初等行變換和初等列變換為什麼不能摻雜著用？假設矩陣A通過一次初等行變換和一次初等列變換得到B，則根據「左行右列原則」，有PAQ=E，PEQ=PQ=B，根據這兩個等式是得不出A與B互為逆矩陣的！因此不能將初等行變換和初等列變換摻雜著用。

3.可逆矩陣的性質

在記憶可逆矩陣的性質時，一定要結合可逆矩陣的定義去理解和記憶

下面是n階可逆矩陣A和B常用的性質：

性質1說明互為逆矩陣的兩個矩陣的行列式互為倒數。

性質2說明互為逆矩陣的兩個矩陣的秩都是滿秩。

性質3說明對於任意一個n階可逆矩陣，均可以通過初等行變換（或初等列變換）化為n階單位矩陣。

性質4說明兩個可逆矩陣的乘積亦為可逆矩陣，且乘積得到的新矩陣的行列式等於兩個矩陣行列式的乘積。

最後，小編要強調一句，兩個可逆矩陣相加減，形成的新矩陣並不一定是可逆矩陣！

4.等價矩陣

何為等價矩陣呢？

對於兩個矩陣A和B，矩陣A經過有限次初等變換能夠得到矩陣B，則矩陣A與矩陣B之間的關係為等價關係。此時稱矩陣B為矩陣A的等價矩陣，同時矩陣A也為矩陣B的等價矩陣。

那麼從上述定義中，大家一定要記住：如果A能通過有限次初等變換得到B，那麼B亦能通過有限次初等變換得到A，即A與B是等價的。

等價矩陣的數學形式定義如下所示：

儘管等價矩陣的定義比較簡單，但是如何判斷兩個矩陣是否是等價矩陣呢？

（1）維度。A和B互為等價矩陣，那麼必然具有相同的行數m與列數n。

（2）矩陣的秩。A和B互為等價矩陣，那麼必然具有相同的秩，即r(A)=r(B)。

滿足上述兩個條件的矩陣A與B，那麼矩陣A與B就互為等價矩陣。

以下方兩個矩陣為例進行說明：

矩陣A與矩陣B都是2*3矩陣，且r(A)=r(B)=2，因此矩陣A與矩陣B互為等價矩陣。

下面是描述矩陣A如何通過有限次初等轉換得到矩陣B的詳細過程：

在上述變換過程中的，用到了兩次初等行變換，如上方綠色部分。此外，還用到了三次初等列變換，如上方橙色部分所示。大家不妨嘗試一下用數學公式表示出來吧！但是一定要注意哦，A左乘的矩陣是二階初等變換矩陣，A右乘的矩陣是三階初等變換矩陣。

5.可逆矩陣與等價矩陣的區別

圖1顯示了可逆矩陣與等價矩陣的區別。

圖1.可逆矩陣與等價矩陣的區別

大家一定要認真閱讀本編文章，尤其是對兩類矩陣的初等變換過程弄透！

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