專題七:矩陣分解

2021-02-13 聊大數科院團委
專題七:矩陣分解

矩陣分解分為兩類:和分解與積分解.和分解是將一個矩陣分解為一些矩陣的和.積分解是將一個矩陣分解為一些矩陣的乘積.

矩陣分解通常是利用標準形理論.

利用等價標準形

等價標準形: 設

,

稱

為

(江蘇大學,2012)滿秩分解:設

使得

由於

其中

是列滿秩,而是行滿秩,於是可得.證

只證必要性. 由於

令

即可.例

證明:秩為

分析

由於

其中

證

由於

顯然

所以結論成立.

下面的例子自己分析一下,看看為什麼這樣做?

例

(大連理工大學,2004)設

證

設

令

即可.

下面例子中矩陣的構造都是基於標準形.

例

(北京交通大學,2007)設

證

由於存在可逆矩陣

令

即可.

例

(南開大學,2016)設

證

不妨設

令

則

利用合同標準形

實對稱矩陣的正交相似標準形:設

其中

例

設

證

設

令即可.

下證唯一性.

設還存在正定矩陣

則存在正交矩陣

因此

其中即

記

從而有

即

上式寫成矩陣形式即是

下面的例子基本都是上面的變形或者推廣.

例

(華東師範大學,2007;南京理工大學,2020)若

例

(電子科技大學,2012)設

例

(中國科學院,2007)設

例

(西安電子科技大學,2010)設矩陣

(1)問是否存在矩陣

(2)將(1)的結論給予推廣.

例

(西北大學,2003)設

例

(西北大學,2009)設

例

(杭州師範大學,2013)設

例

(北京科技大學,2007)設

求出一個滿足上述條件的矩陣

利用相似標準形

相似標準形可以是對角形矩陣,有可能是Jordan標準形.

例

(上海大學,2005;深圳大學,2013)設

階矩陣

必要性.由

令即可.

充分性.易證.

Jordan標準形的後面再提.

其他分解例

(華東師範大學,2013)證明:對於實可逆矩陣

求這樣的分解.證

存在性.將

由施密特正交化有

再將

將上式寫成矩陣形式即為

令

則

注意到

唯一性.設還存在正交矩陣

於是

由於

對

可求得注:此結論稱為矩陣的

(華中科技大學,2005)任一

證

設

於是

例

(福建師範大學,2007)設

則

存在性.設

其中

兩式相加減可得

唯一性.若還存在對稱矩陣

於是

由於

故

矩陣分解還有其它一些,在此不再敘述.

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