模與範疇1.4:自由模與矩陣

2021-02-15 晦名客

我們在上一節給出了生成子模的概念,聯想到數域上的有限維線性空間是由一組基生成的,我們在這一節從基出發推廣域上線性空間的概念.

首先是所謂線性無關的定義:

定義:
設

則稱

繼而我們給出基與自由模的概念:

定義:
若

我們先給出一個重要的自由模的例子.

設

進一步定義

(很顯然這裡再一次彰顯了抽象代數的魅力——Abuse of Notation.你永遠不知道下次看到的0還是不是上一次看到的那個...燃鵝習慣就好,每次都區分的妥妥的會導致——Die for Notation)顯然,經過定義的加法與零元後,

則

則

是

我們再看一些更加具體的自由模的例子:

例:
設

是線性相關的,因

是

下面例子也給出了自由模與線性空間的一個區別——真子模可能和子模具有相同的秩.

例:
設

則

我們說

則

事實上,同構映射並不唯一.但是如果限制同構映射將

比較令人震驚的一個結果是可能存在不同的整數

我們將滿足

的環

非IBN環的例子就不給了,比較難,筆者完全不曉得是啥子也懶得查文獻,查了估計也看不懂.

定理:
設

Proof:
定理等價於

不妨設

同理,存在

我們擴充一下

即添加一堆0,使它們化身為

給以上定理一點Remark:若

此時

下面去掉交換環的限制.我們考慮Abel加法群

取

稱

這玩意兒和線性代數中線性空間上的線性變換等價於一個矩陣差不多可以說一回事.

以上是從加法群角度講了這兩個群同構.我們從乘法角度去考慮,同態映射的複合正是對應著矩陣乘法(You should verify it),因而可以從映射複合具有結合律去說明矩陣乘法的結合律,此外也可以從同態映射角度證明矩陣的分配律.

特別地,

(即線性變換到其導出的矩陣的映射)給出了兩個環之間的反同構.如果取

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