冪零矩陣是矩陣論極為重要的知識點, 這是因為任何方陣都可以相似於一個若爾當形矩陣, 而每一個若爾當塊都是 aE+J 的形式, 這裡 J 表示對角線元素為零的若爾當塊, 它是最重要的冪零矩陣. 也就是說: 掌握了矩陣 J 的性質, 結合相似, 我們可以得到所有方陣的性質. 這其中包括計算 A^n, 或者 f(A), 矩陣秩的各種性質, 最小多項式, 初等因子, 不變因子, 哈密頓-凱萊定理以及著名的不變子空間的直和分解問題(分水嶺)等等.
首先, 要充分了解 J 的運算性質, 這可以通過基本矩陣的性質得到:
知道了矩陣 J 的性質, 那麼對任意一個多項式 f(x), 我們可以一瞪眼兒寫出來 f(J) 的樣子. 對於對角線上非零的若爾當塊, 那麼結合二項式展開就有如下的結果:
接下來看每日一題, 這裡用到了上面說到的 J 的性質. 而其中的例題 57 涉及到了兩個重點, 一個是 AB=BA, 那麼對任意的多項式 f(x), 都會有 f(A)f(B)=f(B)f(A), 另一個是 tE+A 處理不可逆矩陣的手段. 另外, 關於若爾當標準形的更進一步結論, 揚哥在後期推送中會進一步講解.
最後, 一個值得強調的事兒是: 冪零矩陣還有一種等價定義, 即下面命題 4.7:
充分性的證明過程中, 用到了下面例題的結果, 利用範德蒙行列式的性質, 這種解答方法很好理解:
另外, 也可以根據牛頓公式解答上面的命題, 這裡葵花寶典上說的比較好:
關於牛頓公式的應用是很多的, 例如下面的數學競賽題目, 如果用牛頓公式可以快速得到答案(1/24):
最後結合冪零矩陣的等價定義, 分享一個常見的題型:
高等代數精彩知識點連結:
伴隨矩陣的一些問題
逆矩陣的應用
秩一矩陣的性質
秩不等式總結
線性空間的和與交
數構成的線性空間問題
實函數線性空間的問題
線性方程組的應用
線性方程組的解法
打洞原理
拆分法
範德蒙行列式的變形與應用
行列式的多項式方法及範德蒙行列式的證明
行列式定義的應用
多項式的分解問題
帶餘除法的應用
單位根的性質與應用
艾森斯坦判別法的證明與應用
點擊閱讀原文, 報名揚哥數分高代輔導課程. 高等代數強化講義, 你真的應該用一下.