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點積的標準觀點如果我們有兩個維數相同的向量，他們的點積就是對應位置的數相乘，然後再相加：
從投影的角度看，要求兩個向量v和w的點積，可以將向量w朝著過原點的向量v所在的直線進行投影，然後將w投影后的長度乘上向量v的長度（注意兩個向量的的夾角）。
當兩個向量的夾角小於90度時，點積後結果為正，如果兩個向量垂直，點積結果為0，如果兩個向量夾角大於90度，點積結果為負。
一個有趣的發現是，你把w投影到v上面，或者把v投影到w上面，結果是相同的。
但是你不覺得上面兩個過程是完全不同的嘛？接下來就直觀解釋一下。
假設我們有兩個長度完全相同的向量v和w，利用其對稱性，無論將v投影到w上還是將w投影到v上，結果都是一樣的：
如果我們把其中一個向量變為2倍，這種對稱性被破壞了。假設我們把w投影到v上，此時投影的長度沒變，但v的長度變為兩倍，因此是原來結果的兩倍。同樣如果把v投影到w上，投影長度變為2倍，但w長度沒變，所以結果也是原結果的兩倍。所以對於兩個向量的點積來說，無論選擇哪個向量進行投影，結果都是一樣的。
問題又來了，投影的思路和對位相乘再相加的思路，有什麼聯繫呢？聯想之前所學的線性變換過程，假設u是二維空間變換到一維空間後的基向量：
在第三講中我們已經知道，一個2*2的矩陣，[[a,c],[b,d]]其實代表了一種線性變換，它把原來的[1,0]變換到[a,b]的位置，把原先空間中的[0,1]變換到[c,d]的位置。那麼想要知道什麼樣的線性變換可以將二維空間中的基向量i和j變換到一維空間中的基向量u，只需要知道i和j變換後的位置即可。i和j變換後的位置，相當於對u所在的直線進行投影，利用對稱性，可以得到相應的結果，如下圖：
所以二維空間中的任意一個向量，通過上面的線性變換可以得到的一維向量。這個過程相當於對二維向量進行了投影。而根據矩陣乘法的計算方法，便可以將投影的計算方法和對位相乘再相加的方法聯繫起來。
上面的思路總結起來，就是無論何時你看到一個二維到一維的線性變換，那麼應用這個線性變換和與這個向量點乘在計算上等價：
上面是數學中「對偶性」的一個有趣實例。
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首先來看叉積的標準介紹。叉積是通過兩個三維向量生成一個新的向量，新的向量滿足下面三個條件：
1）垂直於這兩個向量所張成的平面
2）其長度等於這兩個向量所形成的四邊形的面積
3）其方向滿足右手定則
右手定則如下：
接下來看看叉積的具體計算，求行列式得到的是叉積後向量的長度，叉積得到的向量的坐標是下圖中的三個「某些數」。
接下來，深入理解叉積的含義，我們通過線性變換的眼光來看叉積。我們首先定義一個三維到一維的線性變換：
先回顧一下行列式的定義，三維空間中，3 * 3矩陣的行列式是三個向量所形成的平行六面體的有向體積（絕對值是體積，但需要根據方向判定其正負號），但這並非真正的叉積，但很接近：
假設我們把第一個向量變為變量，輸入一個向量(x,y,z)，通過矩陣的行列式得到一個數，這個數就代表我們輸入的向量與v和w所組成的平行六面體的有向體積：
為什麼要這麼定義呢？首先要指出的是，上面的函數是線性的。所以我們就可以將上面的行列式過程表示成一個變換過程：
同時，當線性變換是從多維到一維時，線性變換過程又可以表示為點積的形式：
即p的結果是：
所以，問題其實變換為了，找到一個向量p，使得p和某個向量(x,y,z)求點積的結果，等於對應的三維方陣行列式的值（即(x,y,z)和向量u、v所組成的平行六面體的有向體積）。
左邊是一個點積，相當於把(x,y,z)向p上投影，然後投影長度和p的長度相乘：
而右邊平行六面體的體積，可以拆解為底面積 * 高。底面積可以認為是v和w所組成的平行四邊形的面積，高的話是(x,y,z)在垂直於v和w所張成的平面的方向上的分量的長度。
那麼：
點積 = (x,y,z)在p上投影的長度 * p的長度
體積 = v和w所組成的平行四邊形的面積 * (x,y,z)在垂直於v和w所張成的平面的方向上的分量的長度
根據二者相等，可以認為p的長度是v和w所組成的平行四邊形的面積、p的方向垂直於v和w所張成的平面。這樣我們的p就找到了，而p就是我們要找的叉積的結果，是不是很奇妙！
詳細的過程還是推薦大家看一下視頻，講的真的非常好！