目錄
寫在前面
仿射變換：平移、旋轉、放縮、剪切、反射
變換矩陣形式
變換矩陣的理解與記憶
變換矩陣的參數估計
參考
寫在前面2D圖像常見的坐標變換如下圖所示：
這篇文章不包含透視變換（projective/perspective transformation），而將重點放在仿射變換（affine transformation），將介紹仿射變換所包含的各種變換，以及變換矩陣該如何理解記憶。
仿射變換包括如下所有變換，以及這些變換任意次序次數的組合：
平移（translation）和旋轉（rotation）顧名思義，兩者的組合稱之為歐式變換（Euclidean transformation）或剛體變換（rigid transformation）；
放縮（scaling）可進一步分為uniform scaling和non-uniform scaling，前者每個坐標軸放縮係數相同（各向同性），後者不同；如果放縮係數為負，則會疊加上反射（reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling；
剛體變換+uniform scaling 稱之為，相似變換（similarity transformation），即平移+旋轉+各向同性的放縮；
剪切變換（shear mapping）將所有點沿某一指定方向成比例地平移，語言描述不如上面圖示直觀。
各種變換間的關係如下面的venn圖所示：
通過變換矩陣可以更清晰地看出這些變換間的關係和區別。
沒有平移或者平移量為0的所有仿射變換可以用如下變換矩陣描述：
不同變換對應的a,b,c,d約束不同，排除了平移變換的所有仿射變換為線性變換（linear transformation），其涵蓋的變換如上面的venn圖所示，其特點是原點位置不變，多次線性變換的結果仍是線性變換。
為了涵蓋平移，引入齊次坐標，在原有2維坐標的基礎上，增廣1個維度，如下所示：
所以，仿射變換的變換矩陣統一用 來描述，不同基礎變換的a,b,c,d,e,f約束不同，如下所示：
此外，旋轉和平移相乘得到剛體變換的變換矩陣，如下，有3個自由度（θ,tx,ty），這裡旋轉方向為逆時針方向，因此與上圖中的正負號不同，
再乘上uniform scaling得到相似變換，有4個自由度（s,θ,tx,ty），如下：
自然，仿射變換的變換矩陣有6個自由度（a,b,c,d,e,f）。
變換矩陣的理解與記憶坐標系由坐標原點和基向量決定，坐標原點和基向量確定了，坐標系也就確定了。
對於坐標系中的位置(x,y)，其相對坐標原點在[1,0]方向上的投影為x，在[0,1]方向上的投影為y——這裡投影的意思是過(x,y)做坐標軸的平行線與坐標軸的交點到原點的距離，即(x,y)實際為：
當坐標系變化，坐標系中的點也跟著變化，但點相對新坐標系（x′−y′坐標系）的位置不變仍為(x,y)，以旋轉變換為例，新坐標軸的基向量則變為[cos(θ),sin(θ)]和[−sin(θ),cos(θ)]，所以點變化到新位置為：
新位置和新基向量是相對絕對坐標系(x−yx−y坐標系）而言的。其他變換矩陣同理。
總結一下：
這時再對照上面的各種變換矩陣，就很好理解了。
變換矩陣的參數估計如果給定兩個對應點集，如何估計指定變換矩陣的參數？
一對對應點可以列兩個線性方程，多個對應點可以列出線性方程組，為了求解參數，需要的對應點數至少為自由度的一半，多個點時構成超定方程組，可以基於最小二乘或者SVD分解等方法進行求解，這裡不再展開。
參考Image Alignment and Stitching: A Tutorial
wiki: Affine transformation
Geometric Transformation
Coordinates and Transformations
Transformations
Geometric Transformations
Image Geometry
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