摘要：本文結合線性代數中線性變換的視角，深入剖析高考解析幾何中圓錐曲線的相關問題，並試圖使用高中知識理解線性變換的本質。利用線性變換中的伸縮變換（縮放變換），可以系統地解決高考圓錐曲線中的線性問題，並且有效地「迴避」了解析幾何運算複雜的難題。深刻揭示了，數學各分支領域間互相滲透，互相扶持的數學精神，給予學生一個思考問題的新視角，給高中教學帶來新的啟示。
我們在初中數學就開始研究平面幾何的相關內容，這是著名的「歐幾裡德公理幾何體系」的重要組成部分。對於高度對稱的幾何圖形（例如：圓），我們選用公理化證明會顯得十分優美。但是，隨著幾何圖形的變化，其「幾何特徵」開始降低。所以，對於圓錐曲線的相關問題如果再去使用公理化方法證明就會較為複雜。於此，利用笛卡爾的坐標方法，反而會顯得簡單、明晰。這就是解析幾何（坐標幾何）。解析幾何，高考永恆的重點、難點。圓錐曲線作為高中解析幾何的重要組成部分，在高考中有著舉足輕重的地位。
圓錐曲線的核心難點可以大致分為兩點：第一，「數」與「形」之間的「溝通、翻譯」能力；第二，計算。「數、形翻譯」的能力是解析幾何的核心素養。這是因為，歸根結底，解析幾何還是在研究幾何問題。在利用坐標方法解決幾何問題時，我們一般要把幾何關係「翻譯」成代數的語言。這種「翻譯」能力的建立，要求學生對坐標系有深刻的理解，靈活運用代數與幾何間的各種「橋梁」將二者建立聯繫、相互表達。在高中範圍內，學生可以通過練習不斷培養這種能力，逐漸豐富「翻譯」的經驗。
坐標方法固然優點重重，但是在使用「代數化」思路解決問題的程序中無法避免地會伴隨計算的問題。計算往往是圓錐曲線這一難點的切實所在。其實，如果單純只是運算的「量大」還是可以通過高強度的訓練得到有效改善。但對於一些題目，即便是計算能力非常出色的學生也需要消耗大量的時間，甚至反覆多次才能得解。這是由於「算理不明」所致，如果學生選擇的計算策略不合理，就會走入死胡同，將運算變成了硬解，即便耗費大量努力，最終還是無法得解。可令人煩惱的，許多二次曲線中的計算涉及「算理」問題，然而，對於明晰「算理」的培養，絕不是一朝一夕所能夠完成的小工程，那需要絕對大量的經驗積累和一定程度的數學天賦。顯然，僅憑高中教學來解決這個問題是不現實的。
為應對高考圓錐曲線計算難的問題，筆者試圖在解析幾何的相關領域尋找一種較為普適的方法，從而系統地解決一類問題。於是發現，利用平面伸縮變換是不錯的處理方法。
方法對照：
顯然，方法1計算複雜，對「算理」的要求不好拿捏。必修四學習三角函數時我們曾接觸伸縮變換，這裡不妨試試。
不難發現，利用平面伸縮變換可以將橢圓「還原」成圓，這樣就提高了它的「幾何特徵」，從而使問題變得更加清晰，執行起來也更加簡便，有效地「迴避」了繁雜的計算，從解題的結構來看，這無疑是一種優美的解法。
為了完善利用伸縮變換解題的結構體系，下面從平面伸縮變換的定義，性質，適用條件，意義以及例題這五個方面逐步建立這一體系。
1
伸縮變換
2
伸縮變換的性質
區別於平移變換這一類剛體變換，伸縮變換會改變幾何圖形的形狀，但其仍然屬於二維平面上的仿射變換，是線性變換（運用一次函數進行的變換）的一種[5]，有如下性質：
性質1（保留結合性）：曲線與曲線上任意一點，經伸縮變換後，該點仍在對應的曲線上。
性質2（保留平直性）：經伸縮變換後，曲線仍是曲線，直線仍是直線，且相互之間的位置關係保持不變。
性質3（保留平行性）：若取平面內一線段與線段上的任一定比分點，經伸縮變換後，該點仍為相應線段的定比分點，且比例不變。
註：沒有學過向量外積幾何意義的學生也可以用微積分的思想（積分的幾何意義）理解性質5（以橢圓為例）：
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適用條件[2][5]
伸縮變換是在二維平面上的線性變換，只保留圖形的部分性質。因此，伸縮變換隻能解決圓錐曲線中的線性問題，如：曲線（曲線與直線）間的位置關係、平行線段長度的比例關係、斜率問題、面積問題等；而對於非線性問題（如：向量內積）則無法使用此方法。
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意義
在解決橢圓中的線性問題時，利用伸縮變換，能夠將橢圓轉化為圓，從而「還原」其「幾何特徵」。由於圓具有較多的幾何性質以及高度的對稱性，利用這種方法往往能夠使題目得到理想的簡化，以至於大部分問題可以直接在圓中利用幾何方法得解，最後經由逆變換將結論回歸到原坐標平面上，這樣一來就有效地「迴避」了繁瑣的計算[3]。
5
例題
例1.（2017天津南開三模）
例2.（2017天津五校聯考）
例3.（2017天津河北三模）
例4.（2017天津一中四月考）
例5.（2015十二區縣二模）
以上五道例題，均是天津近三年模擬的橢圓試題。我們通過對這些試題解法的改進，足以見得，利用伸縮變換將橢圓「還原」成圓的方法優美、明晰，百試不厭。當然，伸縮變換主要應用於解決橢圓中的線性問題，不過，放在其他圓錐曲線中，伸縮變換則是可以通過變化曲線焦點的位置，從而使原本不在焦點上的點或者是不通過焦點的直線「歸位」，使其與焦點「結合」，之後，就可以藉助圓錐曲線的定義大大降低題目難度，這本質上也達到了提高其「幾何特徵」的目的。（下面以拋物線為例）
例6[1].
由例6.我們深刻發現，利用伸縮變換「轉化」的根本目的在於有效地「還原」圖形的「幾何特徵」，從而「回歸」到利用幾何知識解訣問題的層面，這樣自然就「迴避」了計算的困擾。 可見伸縮變換其實是「工具」，藉以幫助我們將問題「轉化」成為我們熟悉一些經典模型。下面是個二元函數求最值的問題，雖然三角代換是個很成熟的方法，但是利用伸縮變換解決這個問題仍然顯得靈活、雅致。
例7.