#視覺slam與三維重建#
由l∞和虛圓點的例子，我們已經知道點和直線在射影變換下可能是不動的，本節將對該思想做更徹底的研究。
1.不動點與直線的代數表示
假設變換矩陣為H，不動點為e，則有：
He=λe (1)
同理對於不動直線l則有：
HTl=λl (2)
一個3x3矩陣有3個特徵值，如果特徵值互不相同，則該射影變換下最多有三個不動點，類似的推導適用於不動直線。
不動點與不動直線的關係在圖1中顯示，注意直線的不動是集合不動而非點點不動，即直線上的一點被映射到直線上的另一點，這兩點一般不同。
圖1，平面射影變換的不動點和直線，這裡有三個不動點和過這三點的不動直線，不動直線和不動點可能是復的。
考慮一種特殊情況：射影變換H的特徵值λ2=λ3
假定對應於λ2，λ3的特徵矢量分別為e2,e3，則由點x = αλ2e2 + βλ3e3的直線為點點不動直線，因為：
Hx = αλ2e2 + βλ3e3 = λ2x
2.射影變換子群中的不動點與直線
接下來討論下射影變換子群中的不動點和直線，仿射變換以及比他更特殊的變換有三個特徵矢量，其中兩個是理想點(x3=0)並且對應於變換矩陣H中的左上角2x2矩陣的特徵矢量，另外一個特徵矢量通常是有限矢量。
歐式矩陣
三個不動點是虛圓點I,J和極點，分別對應的特徵值是：
其中θ是選裝角，歐氏變換等價於繞極點轉角為θ的純旋轉。
一種特殊的情況是純平移(θ=0)，這時特徵值三重退化，無窮遠線點點不動，具有一束過點（tx,ty,0)T的不動直線，該點對應於平移方向，因此平行於t的直線是不動的。
相似矩陣
其中的兩個不動點仍然是虛圓點，特徵值是：
相似變換可以理解為繞它的有限不動點的旋轉和去s為因子的均勻縮放，注意虛圓點的特徵值仍然表示轉角
仿射矩陣
兩個不動理想點可以是實或復共軛的，但在任何一種情況下，過這些點的不動直線l∞=(0,0,1)T是實的。