3d射影空間中的絕對二次曲線

2021-01-08 圖像那些式兒

#視覺slam與三維重建#

絕對二次曲線Ω∞是在Π∞上的一條(點)二次曲線,在度量坐標系中Π∞ = (0,0,0,1)T,

而在Ω∞上的點滿足

為了確定在Π∞上(即X4=0)點的方向,定義Ω∞的方程可以寫為

因而Ω∞是對應於矩陣C=I的一條二次曲線。可見它是Π∞上由純虛點組成的一條二次曲線。

二次曲線Ω∞的幾何表示需要5個二外的自由度,這5個自由度是仿射坐標系中確定度量性質所需要的。Ω∞的一個主要性質是它是任何相似變換下的不動直線。

結論1 在射影變換H下,絕對二次曲線Ω∞是不動二次曲線的充要條件是H是相似變換。

下面給出Ω∞的幾個具體性質

(1)Ω∞在一般相似變換下是集合不動,而非點點不動。

(2)所有的圓交集Ω∞於兩點,假定Ω∞的支撐面是Π,那麼Π交Ω∞於一條直線,而該直線交Ω∞於兩點,這兩點是Π的虛圓點。

(3)所有球面交Π∞於Ω∞。

度量性質 一旦Ω∞和它的支撐平面Π∞在三維射影空間被辨認,那麼諸如夾角和相對長度等度量性質可以被測定。

設兩條直線的方向為d和d(3維矢量),在歐氏空間中,這些方向的夾角為

它可以寫成

其中d和d是直線與包含二次曲線Ω∞的平面Π∞的交點。現在還不存在由平面的表面法線的方向來計算平面夾角的簡單公式。

正交與配極 基於絕對二次曲線,我們給出射影空間正交性的幾何表示,主要工具是由二次曲線誘導的點與直線之間的極點-極限關係

由公式3直接推出:如果dTΩ∞d=0,則d和d相垂直,因而垂直性可以由關於Ω∞的共軛性來表徵,這樣做的好處是共軛性是射影關係(射影變換下保持不變),因此在射影坐標系(由三維歐氏空間經射影變換得到)下,如果兩方向關於Ω∞共軛,那麼它們被認為相垂直,正交性的幾何作圖如圖1.

圖1,正交性與Ω∞ (a)在Π∞上正交方向d和d關於Ω∞共軛,(b)平面的法向量d和該平面與Π∞的交線l是關於Ω∞的極點-極線關係。

這種表示有助於研究攝像機中射線之間的正交性,例如有助於確定過攝像機中心的平面的法線,如果圖像點關於Ω∞的圖像共軛,那麼對應的射線相垂直。

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