3d射影幾何中的二次曲面與對偶二次曲面

1.二次曲面的定義

點二次曲面

在IP3中，二次曲面由下列方程定義

其中Q是一個4x4的對稱矩陣，二次曲面的一些性質如下

（1）一個二次曲面有9個自由度，對應對4x4反對稱矩陣的10個獨立元素減去一個全局尺度因子。

（2）一般位置上的9個點確定一個二次曲面

（3）如果矩陣Q是奇異的，那麼二次曲面是退化的，並可以由較少的點確定

（4）二次曲面定義了點和平面之間的一種配極，平面п=QX稱為是X關於Q的極平面，當Q為非奇異並且X在二次曲面之外時，極平面由過X且與Q相切的射線組成的錐與Q相接觸的點來定義，如果X在Q上，那麼QX是Q在點X的切平面。

（5）平面п與二次曲面Q的交線是二次曲線C

（6）在點變換X'=HX下，一個點二次曲面變換為：

對偶二次曲面

二次曲面也可以由曲面上的點的切平面п來定義

其中Q*是Q的伴隨矩陣，在點變換X'=HX下，對偶二次曲面的變換方程為

2.二次曲面的分類

因為Q是對陳矩陣，因此我們可以按照以下流程圖對Q做些處理

由於H是由SVD分解得到因此H是正交矩陣，結合公式2，可以得出如下結論：

二次曲面Q是二次曲面D經過點變換H'=HX得到，也就是二次曲面Q射影等價於二次

曲面D

我們記σ(D)為矩陣D中+1元素的個數減去-1的個數，便有如下對二次曲面的總結表1

它們的實物圖在圖1-圖3中給出

圖1包含球面，橢球面，雙葉雙曲面和拋物面，它們是射影等價的；圖2給出單葉雙曲

面的兩個例子，它們分別由X + Y + Z = 1和XY = Z得到並且也都是射影等價的。

注意這兩個曲面由兩簇不相交的直線組成，其中一簇的每根直線與另一簇的每根直線

相交(簇內平行，簇間相交）；圖3給出了退化二次曲面的實例：錐面與相交平面，它

們都是直紋的，表示錐面的矩陣秩為3，其零矢量表示錐面的結點，表示兩(非重合）

平面的矩陣秩為2，其秩為的零空間的兩個生成矢量是平面交線上的兩個點。

圖1，非直紋二次曲面

圖2，直紋二次曲面

圖3，退化二次曲面

直紋二次曲面與非直紋二次曲面

二次曲面分為直紋二次曲面和非直紋二次曲面，其中直紋二次曲面包含直線，更一般

地，如圖2所示，非退化直紋二次曲面(單葉二次曲面)包含兩簇直線。