光學工程領域的前沿代表性技術：自由曲面光學

自由曲面是目前光學最前沿的設計理論和方法，在光學設計方面也發揮了巨大的作用。

什麼是自由曲面

自由曲面指表面形狀不能被連續加工的，具有傳統加工成型的任意性特點的曲面。

自由曲面是工程中最複雜而又經常遇到的曲面，在航空、造船、汽車、家電、機械製造等部門中許多零件外形，如飛機機翼或汽車外形曲面，以及模具工件表面等均為自由曲面。

工業產品的形狀大致上可分為兩類或由這兩類組成:一類是僅由初等解析曲面例如平面、圓柱面、圓錐面、球面等組成。

大多數機械零件屬於這一類。可以用畫法幾何與機械製圖完全清楚表達和傳遞所包含的全部形狀信息。

另一類是不能由初等解析曲面組成，而由複雜方式自由變化的曲線曲面即所謂的自由曲線曲面組成。

例如飛機，汽車，船舶的外形零件。自由型曲線曲面因不能由畫法幾何與機械製圖表達清楚，成為擺在工程師面前首要解決的問題。

自由曲面主要用於汽車拉伸模型、注模、輪機葉片、艦船螺旋槳及各種玩具成型塑料模等，隨著自由曲面應用的日益廣泛，對自由曲面的設計、加工越來越受到人們的關注己成為當前數控技術和CAD/CAM的主要應用和研究對象。

從20世紀50年代起，隨著國防和民用光電技術的不斷發展，各種複雜的光學和機械結構開始出現，這對現代成像系統的性能、像質、體積和重量等指標都提出了更高的要求。

如航空航天領域所採用的離軸折反式光路中，系統的非對稱性帶來了更多的非對稱和更高級像差，光學系統需要向超薄、超簡的方向發展，這些僅靠傳統的球面和對稱非球面已難以滿足。此時，非球面系統的更高級階段——自由曲面開始登上歷史舞臺。

自由曲面光學

我們通常所說的自由曲面一般指沒有旋轉對稱軸的複雜非常規連續曲面，或者說，可以是任何形狀的表面。顯然，不論是在初始結構計算、面型描述、系統優化還是製作加工上，自由曲面都面臨著相當大的難以把握性。

自由曲面初始結構的獲得可以從球面或非球面逐步逼近而來，或通過光線追跡得到點雲再進行曲面擬合。對於前者，通常先設計低階曲面，以滿足系統的光學特性參數和結構要求，如焦距和數值孔徑。

在之後的優化過程中，再逐步加入其他參數，使其向著更複雜的面型發展，以滿足像質要求。對於後者而言，點雲通常基於費馬原理直接獲得，即對於共軛的一對物像點，沿不同路徑傳播的光線具有相同的光程。得到點雲之後，再選擇合適的數學方式對其進行擬合和描述。

自由曲面光學是先進光學工程領域的前沿代表性技術之一。在成像系統中，該技術可以矯正像差、提高成像質量、減小系統單元數量及重量；在高性能照明系統設計中，該技術不僅可以有效提高光能利用率，更可消除系統對照明方向性的嚴格要求，並且提供了很大的設計自由度。

自由曲面光學器件的設計基於非成像理論,不僅可以自由分配光強，也可以控制光線角度、光程差等物理量，令光源的出射光重新分布，在照明面上形成特定的光斑,可滿足一系列照明要求，同時極大地提高了能量利用率。

對LED光源進行了自由曲面照明系統的設計，改善了由LED與傳統光源不同的配光分布帶來的照明系統能量利用率低下等問題，得到傳統光學設計所難以實現的照度均勻性。

自由曲面的面型描述方法

自由曲面的的面型描述方法非常豐富，其遵循的原則是靈活多變、能描述多種複雜面型、像差校正能力強、光線追跡和優化收斂速度快。按照面型控制方式，這些描述方法大致可以分為兩類：全局控制曲面和局部控制曲面。

對於前者而言，每個參數都會對表面的全局形狀產生影響，因此我們只改變其中一個參數，曲面各處的矢高和斜率都會發生改變。此類描述方法包括各種多項式定義的方法。

而對於後者而言，每個參數對曲面面型變化的作用範圍有限，因此可以通過改變某個或某幾個參數來調整局部面型。此類描述方法包括三次樣條曲面、非均勻有理樣條曲面以及高斯基函數組合曲面等等。

這裡我們例舉一些常用的自由曲面描述方法：

雙曲率面——又叫鐲面或馬鞍面，由在 x-z 平面（或 y-z 平面，z 軸與光軸方向平行，下同）內的一段曲線（圓弧或高階曲線）繞與 x 軸（或 y 軸）平行的直線旋轉一定角度形成，其特點是具有旋轉對稱軸，但該對稱軸並不與光軸平行。雙曲率面的 x 和 y 方向通常具有不同的曲率。特殊情況下，當這兩個曲率相同時，雙曲率面就退化為球面，而當其中一個方向的曲率為0時，雙曲率面則退化為柱面。

復曲面——表面在正交的兩個方向上分別具有獨立的曲率和各階係數，其特點是具有互相垂直的兩個對稱面，即 x-z 平面和 y-z 平面。與雙曲率面不同的是，復曲面不一定具有旋轉對稱軸。

XY 多項式曲面——在非球面的基礎上增加了各階單項式得到的曲面，打破了非球面原有的旋轉對稱性。可以看作是對非球面的更高級修正。進一步地，我們還可以設計復曲面基底 XY 多項式曲面，即以復曲面為基底，增加各階單項式，從而結合復曲面和 XY 多項式曲面各自的優勢，也為光學設計提供更多的自由度。

梯形畸變校正曲面——由美國 ORA 公司（現屬 Sysnopsys 公司）的 J. Rogers 提出的一種自由曲面。它在形式上與傳統對稱非球面類似，但在代入非球面公式之前，首先對 x 和 y 坐標做不同程度的變換（傾斜和縮放），從而校正由帶有光焦度的離軸反射鏡所帶來的梯形畸變。由於坐標變換的存在，這類表面也不再具有傳統非球面的旋轉對稱性。

Forbes 曲面——由美國 QED 公司的 G. Forbes 提出的一種正交曲面。它通過經過優選的標準雅可比多項式正交基函數系的方式來定義偏離球面的非球面係數項，使各項係數都有十分明確的物理含義，並且具有唯一性。

Zernike 多項式曲面——由諾獎得主F. Zernike 提出的一種曲面，它由一系列在圓域內正交的基函數組成。這意味著定義在該圓域內的函數如果用 Zernike 多項式來擬合，無論使用的項數有多少，其各項係數始終保持不變。此外，它還容易與經典的塞德爾像差建立聯繫，也是它得到普遍應用的主要原因。

高斯基函數複合曲面——由美國中佛羅裡達大學的 O. Cakmakci 等提出的一種局部面型可控的自由曲面，它可以是在二次曲面的基礎上疊加一組線性拓撲形狀分布的高斯曲面，也可以拋離基底項而直接由一系列高斯函數組合而成。該方法對於像差的控制力更強，與 Zernike 圓域正交的描述方式相比，對矩形或其它形狀的非球面描述能力更強，很容易實現面型的局部控制。

非均勻有理 B 樣條曲面（NURBS 曲面）——一種非常優秀的曲面描述方法，廣泛應用於現有三維 CAD 軟體中。該方法使用一系列帶有權重的頂點來控制面型，各頂點呈拓撲矩形排列。這是一種典型的局部控制曲面，即每個頂點僅影響周圍局部區域的面型，因此 NURBS 曲面可以表示出非常複雜的面型。1991 年國際標準化組織（ISO）頒布的關於工業產品數據交換的 STEP 國際標準，把 NURBS 作為定義工業產品形狀的唯一數學方法。

分段環形面和拼接非球面——顧名思義，是由各段曲面拼接而成。對於分段環形面而言，每段曲面由一個三次多項式定義，曲面整體為旋轉對稱。而拼接非球面以非球面和環形面為基礎。顯然，各段表面在接線處需保證邊界點相接且一階導數連續，才能使曲面整體光滑。

自由曲面的光學設計優化

優化是光學設計的重要步驟之一，通過優化我們可以提升系統的成像質量以及控制結構參數。對於幾何光學設計，優化過程基於光線追跡。

我們通過對不同視場和孔徑位置的光線進行採樣，逐表面追跡其路徑，並分析光線在各表面上的位置，從而計算系統的像差並對其進行控制。

同時，在優化的過程中，系統的各優化變量需要收斂於某一組值，使得系統的像差向著局部最小的方向發展。這個過程需要根據光線追跡的結果對面型進行迭代。每一次迭代都需要計算各變量對像質或約束條件的微分，並重新計算優化評價函數。

因此，追跡的光線數量越多，描述面型的參數越複雜，迭代所需的計算量越大，系統收斂的速度越慢。而自由曲面由於面型自由度高，需要更加密集地對不同視場和孔徑位置的光線進行採樣，以防止表面在小範圍內產生劇烈變形。所以，自由曲面光學系統的優化要遠遠難於普通球面或非球面系統的優化。

儘管計算機性能日益強大，這些工作都可以由計算機自動完成，但一個較為複雜的自由曲面光學系統往往也需要幾天的時間才能優化完成。

由於自由曲面的優化過程中需要對視場進行密集採樣，因此像面整體成像質量也更加難以控制。如果採用手動方法平衡系統的像質則會極其複雜耗時，並且很大程度上依賴設計者的經驗知識。

此時，基於像面整體成像質量的自動平衡算法可以有效減小這部分的工作量。這種方法的主要思想是在迭代過程中採用特定算法對各視場的評價函數分配不同的權重。這種方法使系統在全視場範圍內達到均衡的成像質量，甚至能夠提高系統整體的成像性能。

用於自由曲面設計的經典軟體

ZEMAX是一套綜合性的光學設計軟體。它提供先進的、且符合工業標準的分析、優化、公差分析功能，能夠快速準確的完成光學成像及照明設計，並且可以進行光學自由曲面的設計。

ZEMAX的應用領域及範圍

顯微鏡、望遠鏡、目鏡等鏡頭設計等

相機鏡頭、各種變焦鏡頭、手機攝像頭、夜視系統設計等

各種LED二次配光透鏡，色度分析及顏色混合優化等

車燈、LCD 背光板和LED等照明系統設計優化

光管、光纖連接器，有源及無源器件、光纖耦合

DVD、VCD 雷射讀寫頭、幹涉儀、全息光學

LCOS、DLP等各種投影儀及光學引擎設計

物理光學BPM計算，偏振光學

雷射光學系統，雷射打標機及元件設計，系統分析

雷射擴束鏡頭、F-theta掃描鏡頭設計優化，整形鏡頭設計

軟體可以實現的主要功能

幾何光學設計：成像鏡頭設計、成像質量分析、溫度環境分析、加工公差分析等

物理光學設計：雷射系統及元件的設計及分析，光學相干衍射特性分析、光纖耦合等

照明系統設計：照明系統的設計，光機設計，和3D模型軟體動態連結，光源庫等

ZPL語言擴展：自帶的程式語言可以實現功能的擴展

擴展功能：可以和C語言、C++、VB等程式語言進行配合使用