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2021-01-08 生物谷

擺線

  擺線是數學中眾多的迷人曲線之一.它是這樣定義的:一個圓沿一直線緩慢地滾動,則圓一固定點所描出的軌跡稱為擺線.

  擺線最早可見於公元1501年出版的C·鮑威爾的一本書中.但在17世紀,大批卓越的數學家(如伽利略,帕斯卡,託裡拆利,笛卡兒,費爾馬,伍任,瓦裡斯,惠更斯,約翰·伯努裡,萊布尼茲,牛頓等等)熱心於發現這一曲線的性質.17世紀是人們對數學力學和數學運動學愛好的年代,這能解釋人們為什麼對擺線懷有強烈的興趣.在這一時期,伴隨著許多發現,也出現了眾多有關發現權的爭議,剽竊的指責,以及抹煞他人工作的現象.這樣,作為一種結果,擺線被貼上了引發爭議的「金蘋果」和「幾何的海玲」的標籤.

  17世紀,人們發現擺線具有如下性質:

  1.它的長度等於旋轉圓直徑的4倍.尤為令人感興趣的是,它的長度是一個不依賴於π的有理數.

  2.在弧線下的面積,是旋轉圓面積的三倍.

  3.圓上描出擺線的那個點,具有不同的速度——事實上,在P5的地方它甚至是靜止的.

  4.當彈子從一個擺線形狀的容器的不同點放開時,它們會同時到達底部.

  有許多與擺線有連帶關係的令人迷惘的悖論.其中火車悖論格外引人關注:

  ——在任一瞬間,一輛移動的火車絕不可能整個地都朝機車拖動的方向移動.火車上總有一部分是朝火車運動的相反方向移動!

  這個悖論能夠用擺線加以說明.這裡形成的曲線稱為長幅擺線——該曲線由旋轉輪外沿的固定點描出.下圖顯示出當火車的車輪向右滾動的時候,它凸出部分外沿的點,卻沿長幅擺線的軌跡向左方向(相反的方向)移動.

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