11.8 Lagrange 乘子
如果是求定義域內約束在某個區域內函數的極值, 可以用本次講述的 Lagrange乘子法.
約束最大值和最小值
觀察下面函數 f(x,y)=49-x^2y^2 受約束 g(x,y)=x+3y-10=0 的圖形.
求雙曲柱面 x^2z^2-1=0 上到原點最近的點的一個方法是設想中心在原點的球面不斷膨脹, 直到剛剛接觸到柱面. 此時柱面和球面有同樣的切平面和法線.
Lagrange 乘子法
若函數 f(x,y,z) 的變量受約束 g(x,y,z)=0限制, 函數的極值可以用下面Lagrange乘子法求出.
現在看函數 f(x,y)= x y 在橢圓 x^2/8+y^2/2=1 上的最大值和最小值, 現在看下解的幾何解釋. f(x,y)=x y 的等高線圖是雙曲線 x y=c , 如下:
從上圖可是雙曲線離開原點越遠, f 的絕對值越大. 需要在約束條件下 - 橢圓 x^2+4y^2=8 上使 f(x,y) 取極值點. 也就是剛剛與橢圓相切的雙曲線會距離原點最遠, 在這四個切點中, 雙曲線的法線也是橢圓的法線. 觀察下圖動畫, 可以看到黑色 "▽f"是 "▽g"的數值倍數.
帶兩個約束條件的 Lagrange 乘子法
如果是兩個約束限制的可微函數求極值, 這裡 g1(x,y,z)=0 和 g2(x,y,z)=0, 可微且梯度向量不平行. 可以通過引進兩個 Lagrange乘子 λ 和 μ, 通過求解下面方程中的 x,y,z,λ,μ 值來求出極值點的位置:
曲面 g1=0 和 g2=0 通常會相交於一條曲線 C. 沿著這條曲線尋找 f 相對於曲線上其他值的極大值和極小值的點.
例如下面例子中平面 x+y+z=1 (g1)相交於圓柱 x^2+y^2=1 (g2) 為一個橢圓, 求這個橢圓上離原點最遠的點. 觀察 ▽g1 正交於平面 x+y+z=1, 而 ▽g2 正交於曲面 x^2+y^2=1, 向量 ▽g1 和 ▽g2 位於垂直與橢圓曲線的 C (下圖紅色)的平面內. 並且 ▽f 也正交於 C, 且在 ▽g1 和 ▽g2 決定的平面內, 這意味這對於某個 λ 和 μ 有 ▽f = λ ▽g1 + μ ▽g2. 觀察下圖來更好理解:
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