工程師飛燕 發表於 2018-10-25 08:59:00
在學習數位訊號處理時,很多種頻率很容易搞混淆,有模擬/數字/頻率/角頻率等等,也不是特別清楚不同頻率之間的關係,希望這篇文件可以為各種頻率來個了結.
4種頻率及其數量關係 實際物理頻率表示物理信號的真實頻率; fs為採樣頻率,表示ADC採集物理信號的頻率，由奈奎斯特採樣定理可以知道，fs必須≥信號最高頻率的2倍才不會發生信號混疊，因此fs能採樣到的信號最高頻率為fs/2。
角頻率Ω是物理頻率的2π倍, 這個也稱模擬頻率。
歸一化頻率是將物理頻率按fs歸一化之後的結果，最高的信號頻率為fs/2對應歸一化頻率0.5(ω=π)，這也就是為什麼在matlab的fdatool工具中歸一化頻率為什麼最大隻到0.5的原因。歸一化頻率中不含fs的信息.
圓周頻率是歸一化頻率的2*pi倍，這個也稱數字頻率ω。
有關FFT頻率與實際物理頻率的分析
做n個點的FFT，表示在時域上對原來的信號取了n個點來做頻譜分析，n點FFT變換的結果仍為n個點。
換句話說，就是將2π數字頻率ω分成n份，而整個數字頻率ω的範圍覆蓋了從0-2π*fs的模擬頻率範圍。這裡的fs是採樣頻率。而我們通常只關心0-π中的頻譜，因為根據奈科斯特定律，只有f=fs/2範圍內的信號才是被採樣到的有效信號。那麼，在w的範圍內，得到的頻譜肯定是關於n/2對稱的。
舉例說，如果做了16個點的FFT分析，你原來的模擬信號的最高頻率f=32kHz，採樣頻率是64kHz，n的範圍是0,1,2...15。這時，64kHz的模擬頻率被分成了16分，每一份是4kHz，這個叫頻率解析度。那麼在橫坐標中，n=1時對應的f是4kHz, n=2對應的是8kHz, n=15時對應的是60kHz，你的頻譜是關於n=8對稱的。你只需要關心n=0到7以內的頻譜就足夠了，因為，原來信號的最高模擬頻率是32kHz。
這裡可以有兩個結論:
必須知道原來信號的採樣頻率fs是多少，才可以知道每個n對應的實際頻率是多少，第k個點的實際頻率的計算為f(k)=k*(fs/n)
你64kHz做了16個點FFT之後，因為頻率解析度是4kHz，如果原來的信號在5kHz或者63kHz有分量，你在頻譜上是看不見的，這就表示你越想頻譜畫得逼真，就必須取越多的點數來做FFT，n就越大，你在時域上就必須取更長的信號樣本來做分析。但是無論如何，由於離散採樣的原理，你不可能完全準確地畫出原來連續時間信號的真實頻譜，只能無限接近（就是n無限大的時候），這個就叫做頻率洩露。在採樣頻率fs不變得情況下，頻率洩漏可以通過取更多的點來改善，也可以通過做FFT前加窗來改善，這就是另外一個話題了。
為什麼抽取/內插看起來對頻譜有影響? 在數位訊號處理時,經常需要對數據進行抽取或者內插處理.抽取之後的頻率展寬了n倍,內插之後的頻率壓縮了n倍,從而需要在變採樣率之後添加抗混疊濾波器.但是實際上信號的頻率在抽取/內插的前後並沒有發生變化.這裡的核心原因是:歸一化頻率失去了採樣率fs信息.
抽取和內插的實質是採樣率fs的變化
舉個例子:
我們設定fs=30.72MHz,使用3個cw信號的合成信號代表一個BW=8MHz的寬帶信號,使用實際頻率來表示信號,看到BW沒有變化,使用數字頻率w來表示信號,信號的BW似乎被壓縮了.
歸一化頻率
clear all;
close all;
fs = 30.72e6;
ts = 1/fs;
nFFT=4096;
%nFFT=32768;
t=0:ts：（nFFT-1）*ts;
d0=100*sin（2*pi*10e6*t）;
d1=50*cos（2*pi*5e6*t）;
d2=10*cos（2*pi*2e6*t）;
dSum=d0+d1+d2;
dFFT = abs（fftshift（fft（dSum，nFFT）））/（nFFT/2）;
%dFFT = abs（fft（dSum，nFFT））/（nFFT/2）;
fAxis = （-1/2*nFFT：（1/2*nFFT-1））/nFFT*fs;
figure（1）
subplot（2，1，1）
plot（fAxis，dFFT）
title（『original signal』）
subplot（2，1，2）
dSumI= zeros（1，2*nFFT）;
for k =1:nFFT
dSumI（2*k） = dSum（k）;
end
dFFTI = abs（fftshift（fft（dSumI，2*nFFT）））/（nFFT）;
fAxisI = （-nFFT：（nFFT-1））/（2*nFFT）*fs*2; %fs double
plot（fAxisI，dFFTI）
title（『interpolated signal』）
figure（2）
subplot（2，1，1）
wAxis = 2*pi*（-1/2*nFFT：（1/2*nFFT-1））/（nFFT）;
plot（wAxis，dFFT）
set（gca，『XTick』，-2*pi:pi/2:2*pi）
title（『original signal normalize』）
subplot（2，1，2）
wAxisI = 2*pi*（-nFFT：（nFFT-1））/（2*nFFT）;
plot（wAxisI，dFFTI）
set（gca，『XTick』，-2*pi:pi/2:2*pi）
title（『interpolated signal normalize』）
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