數學猜想並不總是對的，錯誤的數學猜想不佔少數。只不過因為反例太大，找出反例實在是太困難了。這篇文章收集了很多「大反例」的例子，裡面提到的規律看上去非常誘人，要試到相當大的數時才會出現第一個反例。
圓上有 n 個點，兩兩之間連線後，最多可以把整個圓分成多少塊？
上圖顯示的就是 n 分別為 2 、 3 、 4 的情況。可以看到，圓分別被劃分成了 2 塊、 4 塊、 8 塊。規律似乎非常明顯：圓周上每多一個點，劃分出來的區域數就會翻一倍。
事實上真的是這樣嗎？讓我們看看當 n = 5 時的情況：
果然不出所料，整個圓被分成了 16 塊，區域數依舊滿足 2n-1 的規律。此時，大家都會覺得證據已經充分，不必繼續往下驗證了吧。偏偏就在 n = 6 時，意外出現了：
此時區域數只有 31 個。
1772 年，Euler 曾經發現，當 n 是正整數時， n2 + n + 41 似乎總是素數。事實上，n 從 1 一直取到 39，算出來的結果分別是：
43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,
313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,
911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601
這些數全都是素數。第一次例外發生在 n = 40 的時候，此時 402 + 40 + 41 = 402 + 40 + 40 + 1 = (40 + 1)(40 + 1) = 41 × 41。
xn - 1 的因式分解
x2 - 1 分解因式後等於 (x + 1)(x - 1) 。 x20 - 1 分解因式後等於
(x - 1) (x + 1) (x2 + 1) (x4 - x3 + x2 - x + 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) (x8 - x6 + x4 - x2 + 1)
對於所有的正整數 n ， xn - 1 因式分解後各項係數都只有可能是 1 或者 -1 嗎？據說有人曾經算到了 x100 - 1 ，均沒有發現反例，終於放心大膽地做出了這個猜想。悲劇的是，這個猜想是錯誤的，第一個反例出現在 n = 105 的情況， x105 - 1 分解出來等於
(x - 1) (x2 + x + 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
(x8 - x7 + x5 - x4 + x3 - x + 1) (x12 - x11 + x9 - x8 + x6 - x4 + x3 - x + 1)
(x24 - x23 + x19 - x18 + x17 - x16 + x14 - x13 + x12 - x11 + x10 - x8 + x7 - x6 + x5 - x + 1)
(x48 + x47 + x46 - x43 - x42 - 2 x41 - x40 - x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 - x28
- x26 - x24 - x22 - x20 + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 - x9 - x8 - 2 x7 - x6 - x5 + x2 + x + 1)
下面是當 n 較小的時候， n 與 2n - 2 的值。
似乎有這樣的規律： n 能整除 2n - 2 ，若且唯若 n 是一個素數。如果真是這樣的話，我們無疑有了一種超級高效的素數判定算法( 2n 可以用二分法速算，期間可以不斷模 n )。國外數學界一直傳有「中國人 2000 多年前就發現了這一規律」的說法，後來發現其實是對《九章算術》一書的錯誤翻譯造成的。再後來人們發現，這個規律竟然是錯誤的。第一個反例是 n = 341，此時 341 能夠整除 2341 - 2 ，但 341 = 11 × 31 。
事實上，根據 Fermat 小定理，如果 p 是素數，那麼 p 一定能整除 2n - 2。不過，它的逆定理卻是不成立的，上面提到的 341 便是一例。我們把這種數叫做以 2 為底的偽素數。由於這種素數判定法的反例出人意料的少，我們完全可以用它來做一個概率型的素數判定算法。事實上，著名的 Miller-Rabin 素性測試算法就是用的這個原理。
定義 f(n) = f(n - 2) + f(n - 3) ，其中 f(1) = 0 ， f(2) = 2 ， f(3) = 3 。這個數列叫做 Perrin 數列。
似乎有這麼一個規律： n 能整除 Perrin 數列的第 n 項 f(n) ，若且唯若 n 是一個素數。如果這個規律成立的話，我們也將獲得一個效率非常高的素數檢驗方法。根據 MathWorld 的描述，1899 年 Perrin 本人曾經做過試驗，隨後 Malo 在 1900 年， Escot 在 1901 年，以及 Jarden 在 1966 年都做過搜索，均未發現任何反例。直到 1982 年， Adams 和 Shanks 才發現第一個反例 n = 271 441 ，它等於 521 × 521 ，卻也能整除 f(271 441) 。下一個反例則發生在 n = 904 631 的時候，再下一個反例則是 n = 16 532 714 。這種反例被稱為 Perrin 偽素數。
說到大反例，這是我最喜歡舉的例子。下面是大於 1 的正整數分解質因數後的結果：
2 = 2
3 = 3
4 = 2 × 2
5 = 5
6 = 2 × 3
7 = 7
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
...
其中，4、6、9、10 包含偶數個質因子，其餘的數都包含奇數個質因子。你會發現，在上面的列表中一行一行地看下來，不管看到什麼位置，包含奇數個質因子的數都要多一些。1919 年，George Pólya 猜想，質因子個數為奇數的情況不會少於 50% 。也就是說，對於任意一個大於 1 的自然數 n ，從 2 到 n 的數中有奇數個質因子的數不少於有偶數個質因子的數。這便是著名的 Pólya 猜想。
Pólya 猜想看上去非常合理――每個有偶數個質因子的數，必然都已經提前經歷過了「有奇數個質因子」這一步。不過，這個猜想卻一直未能得到一個嚴格的數學證明。到了 1958 年，英國數學家 C. B. Haselgrove 發現， Pólya 猜想竟然是錯誤的。他證明了 Pólya 猜想存在反例，從而推翻了這個猜想。不過，Haselgrove 僅僅是證明了反例的存在性，並沒有算出這個反例的具體值。Haselgrove 估計，這個反例至少也是一個 361 位數。
1960 年，R. Sherman Lehman 給出了一個確鑿的反例：n = 906 180 359。而 Pólya 猜想的最小反例則是到了 1980 年才發現的：n = 906 150 257。
Fermat 大定理還能推廣嗎？
Fermat 大定理說，當 n > 2 時，方程 xn + yn = zn 沒有正整數解。 Euler 曾經猜想，當 n > k 時，方程 x1n + x2n + … + xkn = yn 都沒有正整數解。 1986 年，Noam Elkies 給出了方程 x4 + y4 + z4 = w4 的一個正整數解，從而推翻了這個猜想。這個反例是：2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734 。
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 1010, 1111, 1212, … 都不是完全平方數。有沒有什麼數，把它連寫兩次後，正好是一個完全平方數呢？有。第一個這樣的數是 13 223 140 496 ，把它連寫兩次將得到 1 322 314 049 613 223 140 496 ，是 36 363 636 364 的平方。第二個這樣的數則是 20 661 157 025 ，它對應了 45 454 545 455 的平方。
總是相等嗎？
下面是 n 為正整數時， 2 / (21/n - 1) 取上整的結果與 2n / ln(2) 取下整的結果：
這兩者的結果總是相等嗎？不是的。第一個反例是 n = 777 451 915 729 368，前者算出來的結果是 2 243 252 046 704 767 ，但後者是 2 243 252 046 704 766 。下一個反例則出現在 n = 140 894 092 055 857 794 的時候。
至今仍未找到的反例
有沒有什麼猜想，明明已經被推翻了，所有人都知道存在反例，但因為反例實在是太大了，直到現在仍然沒有找到呢？有。下面這張表展示了 n 取不同值時 pi(n) 和 li(n) 的值，其中 pi(n) 表示不超過 n 的素數的個數，li(n) 則是對數積分 ∫0n dx/ln(x) 。
pi(n) 是否永遠小於 li(n) 呢？1914 年，Littlewood 證明了存在一個大數 n 使得 pi(n) ≥ li(n) ，不過卻並沒有給出一個具體的 n 值來。1955 年，Skewes 給出了這樣的 n 值的一個上界：在 10^(10^(10^963)) 以內，必有一個滿足 pi(n) ≥ li(n) 的 n 。
雖然數學家們正在不斷地改進上界(目前的上界大約是 e727.9513 )，但仍然無法找出一個具體的 n 來。原因很簡單――這個反例實在是太大了。