「正相似形在中考中佔有極大的比重,它的考法又是千變萬化,對於學生來說,既是重點，又是難點。今天講解的是關於「45度模型"的一些基本結論，希望對學生的思維有一定的激發作用,給學生處理問題多一些途徑。
原理證明：
如圖：ABCD為正方形，∠FCE=45°
則△ACG∽△AHC
AC=AG AH
典型例題：
1.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在邊AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延長線交BA的延長線於點G，CE的延長線交DA的延長線於點H，連接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC＝∠ACG；（填「＞」或「＜」或「＝」）
（2）線段AC，AG，AH什麼關係？請說明理由；
（3）設AE＝m，
①△AGH的面積S有變化嗎？如果變化．請求出S與m的函數關係式；如果不變化，請求出定值．
②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值．
【分析】
（1）證明∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，即可推出∠AHC＝∠ACG；
（2）結論：AC2＝AGAH．只要證明△AHC∽△ACG即可解決問題；
（3）①△AGH的面積不變．理由三角形的面積公式計算即可；
②分三種情形分別求解即可解決問題；
【解答】
解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AC＝√4+√4＝4√2，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，
∴∠AHC＝∠ACG．
故答案為＝．
（2）結論：AC2＝AGAH．
理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，
∴△AHC∽△ACG，
AH/AC＝AC/AG，
∴AC2＝AGAH．
（3）①△AGH的面積不變．
理由：
∵S△AGH＝AHAG＝AC＝2*（4√2）＝16．
∴△AGH的面積為16．
②如圖1中，當GC＝GH時，易證△AHG≌△BGC，
可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，
∵BC∥AH，
∴BC/AH＝BE/AE＝，
∴AE＝2/3*AB＝8/3．
如圖2中，當CH＝HG時，
易證AH＝BC＝4（可以證明△GAH≌△HDC得到）
∵BC∥AH，
∴BE/AE＝BC/AE＝1，
∴AE＝BE＝2．
如圖3中，當CG＝CH時，易證∠ECB＝∠DCF＝22.5°
在BC上取一點M，使得BM＝BE，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，
∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，
∴CM＝EM，設BM＝BE＝x，則CM＝EM＝√2x，
∴x+√2x＝4，
∴x＝4（√2﹣1），
∴AE＝4﹣4（√2-1）＝8-4√2，
綜上所述，滿足條件的m的值為8/3或2或8-4√2．
【點評】
本題屬於四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬於中考常考題型．
同步練習：
1.（2017金華）如圖，已知點A（2，3）和點B（0，2），點A在反比例函數y＝的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點A按逆時針方向旋轉45°，交反比例函數圖象於點C，則點C的坐標為（ ）
【分析】
解法一：
先過A作AE⊥x軸於E，以AE為邊在AE的左側作正方形AEFG，交AB於P，
根據直線AB的解析式為y＝x+2，可得PF＝3/2，
將△AGP繞點A逆時針旋轉90°得△AEH，構造△ADP≌△ADH，再設DE＝x，
則DH＝DP＝x+3/2，FD＝1+2-x＝3-x，
在Rt△PDF中，根據PF+DF＝PD，
可得方程（3/2)+（3-x)＝（x+)，進而得到D（1，0），
即可得出直線AD的解析式為y＝3x-3，最後解方程組即可得到D點坐標．
解法二：
過A作AD⊥y軸於D，將AB繞著點B順時針旋轉90°，得到A'B，
過A'作A'H⊥y軸於H，
由AB＝BA'，∠ADB＝∠BHA'＝90°，∠BAD＝∠A'BH，
可得△ABD≌△BA'H，由A（2，3），A'（1，0），
可得直線AC的解析式為y＝3x﹣3，
解方程組即可得到D點坐標．
解法三：
過B作BF⊥AC於F，過F作FD⊥y軸於D，過A作AE⊥DF於E，
則△ABF為等腰直角三角形，
易得△AEF≌△FDB，
依據全等三角形的性質，
即可得出F（3/2，3/2），進而得出直線AF的解析式，
解方程組即可得到D點坐標．
故答案為：（-1，-6）．
姜姜老師點評寄語
同學們在學習解答關於相似模型中遇到三角形和四邊形問題時候，我們要使用從整體到局部分析的眼光看待問題，雖然看似不難，確是容易出錯，思路不清晰的一類題目。相信同學們把這姜姜老師整理的相似模型合集學習完以後再遇到這樣的問題就可以迎刃而解。
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