中考數學壓軸題型:相似模型解析12——三角形和四邊形

2020-12-06 初中數學壓軸姜老師

「 正相似形在中考中佔有極大的比重,它的考法又是千變萬化,對於學生來說,既是重點,又是難點.今天講解的是關於「三角形與四邊形模型"的一些基本結論,希望對學生的思維有一定的激發作用,給學生處理問題多一些途徑。

12 三角形與四邊形

原理證明：

三角形與正方形：

△AEF∽△EBD

AF：EF=ED：BD

△AEF∽△ABC

AK：AD=EF：BC

三角形與矩形：

△AEH∽△ABC

EH：BC=（AD-EF）：AD

三角形與菱形：

△FDC∽△CBE

FC：DC=CE：BC

△CDG∽△CAB

典型例題：

如圖，在一塊斜邊長30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一個正方形CDEF，點D在邊BC上，點E在斜邊AB上，點F在邊AC上，若AF：AC＝1：3，則這塊木板截取正方形CDEF後，剩餘部分的面積為　 　．

【解答】

解：設AF＝x，則AC＝3x，

∵四邊形CDEF為正方形，

∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴EF/BC＝AF/AC=1/3，

∴BC＝6x，

在Rt△ABC中，AB＝AC+BC，即302＝（3x）+（6x），

解得：x=2√5

故答案為：100cm．

如圖，△ABC是一塊三角形的鐵皮，BC長為4m，BC邊上的高AD長為3m，要將它加工成一塊矩形鐵皮，使矩形的一邊FG在BC上，其餘兩個頂點E，H分別在AB，AC上，且矩形的面積是三角形面積的一半，求這個矩形的長和寬．

【解答】

解：設矩形的長為EH＝FG＝x，△AEH的高為h，

∵四邊形EFGH是矩形，

∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC，

∴h/AD＝EH/BC，

即：3/h＝x/4，

h＝3/4x，

∴矩形寬為EF＝AD﹣h＝3-3/4x，

∵S△ABC＝BCAD＝×4×3＝6，

∴x（3﹣3/4x）＝3，

解得：x＝2，

∴3﹣3/4x＝1.5，

∴這個矩形的長為2cm，寬為1.5cm．

如圖，過菱形ABCD的頂點C的直線與AB的延長線交於點E，與AD的延長線交於點F，若菱形的邊長為x，BE＝a，DF＝b，則a，b，x滿足的關係是（　　）

A．2x＝a+b B．x2＝ab

C．x（a+b）＝ab D．2x2＝a2+b2

【解答】

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴CD∥AE，

∴△FDC∽△FAE，

∴FD/FA＝DC/AE，

∴b/b+x＝x/x+a，

整理得：x＝ab，

故選：B．

同步練習：

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．點D為邊AC上的動點，作菱形DEFG，使點E、F在邊AB上，點G在邊BC上．若這樣的菱形能作出2個，則AD的取值範圍是（　　）

（本題答案將在下期公布結果，如著急可以評論留言，姜姜老師也會第一時間回復）

姜姜老師點評寄語同學們在學習解答關於相似模型中遇到三角形和四邊形問題時候，我們要使用從整體到局部分析的眼光看待問題，雖然看似不難，確是容易出錯，思路不清晰的一類題目。相信同學們把這姜姜老師整理的相似模型合集學習完以後再遇到這樣的問題就可以迎刃而解。

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