歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，初中幾何粗略地劃分，可以分成以下兩塊內容：第一塊內容是幾何基礎：包括線、角兩部分；第二塊內容是幾何最核心部分----對圖形的研究，包括三角形和特殊四邊形，這兩部分內容又分成兩階段學習，各有側重點。第一階段是學習圖形的全等與計算，側重於角、邊的相等證明與計算；第二階段是學習圖形的比例性質，側重於邊與邊的比例關係計算，如三角形相似及三角函數。當我們學完《圖形的平移與旋轉》後，初中幾何中的三角形中涉及相等證明與計算的部分就結束了，接著要學習的是圖形的拓展：由三角形拓展到特殊四邊形，包括對平行四邊形、菱形、矩形和正方形性質與判定的學習，請記住這個知識變化鏈，它告訴我們，由三角形到特殊四邊形，只是圖形的拓展，帶來的也只是性質定理方面的拓展，但核心知識不會變：所涉及到的角相等、邊相等、三角形全等、勾股定理等等，這種知識層面的延續，必定帶來學習方法、解題方法、分析思路上的延續，而不是重新開始，在接下來學習與解決特殊多邊形的知識或題目時，必定能讓我們對知識點的來龍去脈、解題思路的靈活切換，還帶意想不到的便利與實效。本號將特殊多邊形的每一種圖形的性質與判定、知識運用、題型變化、解題細節，一一做出最詳細的解讀，今天是開篇之章，來說一說平行四邊形的各個性質及對應題型的詳細情況。
一.平行四邊形的定義
【知識梳理】
1.定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（既是性質也是判定）
2.平行四邊形具有不穩定性
二.平行四邊形的性質
【知識梳理】
1.邊：對邊相等、對邊平行；
2.角：對角相等、鄰角互補；
3.對角線：互相平分。
①注意：是「平分」而不是「相等」；
②平行四邊形的一條對角線把平行四邊形分成兩個面積相等的三角形，
平行四邊形的兩條對角線把平行四邊形分成兩個面積相等的三角形；
如圖：
4.對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心，但它不是軸對稱圖形；
5.數學典型模型：「角平分線+平行線=等腰△」；
6.平行線間的距離處處相等；
三.平行四邊形常見輔助線
【典型例題】
例1.已知AB//GH/CD，AD//EF//BC，則圖中有______個平行四邊形.
【解析】：由平行四邊形的定義可解答：圖中有4個小的平行邊形、4個中的平行四邊形（由2個小平行四邊形組成）、1個大的平行四邊形（由4個小的平行四邊形組成），共9個平行四邊形；
例2.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，BF平分∠ABC交CD的延長線於點F，則DF=_____.
【解析】：數學典型模型：「角平分線+平行線=等腰△」, BF平分∠ABC，AB//CF，∴∠ABF=∠F=∠FBC，∴△BCF是等腰三角形，∴CF=BC=5，∴DF=8-5=3.
例3．在ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC於點E，DF平分∠ADC交BC於點F，且EF=2，則AB的長為____
【思路分析】根據平行線的性質得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代換得到∠DFC=∠FDC，根據等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根據已知條件得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到AB=CD，AD=BC，即可得到結論．
【解題過程】
①如圖1，在ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC於點E，DF平分∠ADC交BC於點F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF=2AB﹣EF=8，∴AB=5；
②在ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC於點E，DF平分∠ADC交BC於點F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=8，∴AB=3；
綜上所述：AB的長為3或5．
例4.如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD摺疊，使點A落在點E處，交BC於點F，若∠ABD=48，∠CFD=40，則∠E=______
【解析】：數學典型模型：「角平分線+平行線=等腰△」, BD平分∠ADF，AB//CD，∴∠ADB=∠DBF=∠BDF，∴△BFD是等腰三角形，∵∠DFC=∠BDF+∠DBF=40，∴∠DBF=20，∵∠ABD=∠EBD=48，∴∠FBE=28，∵∠BFE=∠DFC=40，∴∠E=180-28-40=112.
例5.在平行四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以是（）
A. 1：2：3：4 B. 1：2：2：1
C. 1：1：2：2 D. 2：1：2：1
【解析】：由平行四邊形「角的性質」可得，選項D正確；
例6.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交於點O，則下列說法正確的是（ ）
A.AO=OD B. AO⊥OD C. AO=OC D. AO⊥AB
【解析】：由平行四邊形「對角線的性質」可得，選項C正確；
例7.如圖，平行四邊形AOCB頂點C的坐標為（3，4），點A的坐標為（6，0），則點B的坐標為_____
【解析】由點A、C的坐標可得：OA=6，CM=4，OM=3，由平行四邊形的性質可得BC=OA=6，∴B點的橫坐標為6+3=9，由平行線間的距離處處相等可得BN=CM=4，∴B點坐標為（9，4）.
例8.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE//DF且BE與DF之間的距離為3，則AE的長是_____
【解析】數學典型模型：「一線三垂直模型」，作EG⊥DF於點G，由BE//DF可得EG⊥BE，則∠ABE=∠DEG，∠BAE=∠EGD=90，由平行線間的距離處處相等可得EG=3=AB，∴ABE△≌△GED，∴BE=ED，設AE=x，則DE=BE=4-x，在R△ABE中，由勾股定理可得：3*2+x*2=(4-x)*2，解得x=7/8.
例9.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC上的一點O，過點O作AD、BC的平行線GH、EF，則比較圖中兩個陰影部分面積的大小關係是（ ）
例10.某休閒廣場呈四邊形，它的四個角上均有一棵古樹，現決定將廣場面積擴大到原來的2倍，但四棵古樹不能移動，請你設計出圖形，並說明理由。
【解析】：利用「平行四邊形對角線把平行四邊形分成面積相等的兩個三角形」這一性質解題。如圖，連接AC、BD交於點O，分別過點A、C作OB的平行線EF、GH，分別過點B、D作AC的平行線FG、EH，四條平行線分別交於點E、F、G、H，則△AOD與△AED、△AFB與△AOB、△GBC與△OBC、△HDC與△ODC的面積分別相等，這樣四邊形ABCD拓展為四邊形EFGH，面積就是原來的2倍。
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