前言 PREFACE
定時更新最乾貨的初中數學壓軸題型講解。
如需要本堂內容的word電子版本，請私信與我
青島的中考數學區別山東其他地方，自成一派，除了有青島版初中教材之外還有自己出題的重點和邏輯，在山東其他地區，一般二次函數作為考試的重點，青島以動點幾何探究為主 ，青島和東北除了闖關東的影響，青島裡東北人也很多，所以中考壓軸題也有很多相像的地方，不知道是否也是一方山水養一方人。大家可以對比感受下難度。#中考#
實操真題講解
1．（2020青島）已知：如圖，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，點C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延長DC交EF於點M．點P從點A出發，沿AC方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點Q從點M出發，沿MF方向勻速運動，速度為1cm/s．過點P作GH⊥AB於點H，交CD於點G．設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．
解答下列問題：
（1）當t為何值時，點M在線段CQ的垂直平分線上？
（2）連接PQ，作QN⊥AF於點N，當四邊形PQNH為矩形時，求t的值；
（3）連接QC，QH，設四邊形QCGH的面積為S（cm），求S與t的函數關係式；
（4）點P在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點P在∠AFE的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【分析】
（1）由平行線分線段成比例可得，可求CM的長，由線段垂直平分線的性質可得CM＝MQ，即可求解；
（2）利用銳角三角函數分別求出PH＝6/5t，QN＝6﹣4/5t，由矩形的性質可求解；
（3）利用面積的和差關係可得S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，即可求解；
（4）連接PF，延長AC交EF於K，由「SSS」可證△ABC≌△EBF，可得∠E＝∠CAB，可證∠ABC＝∠EKC＝90°，由面積法可求CK的長，由角平分線的性質可求解．
【解答】
解：（1）∵AB∥CD，
∴CM/BF=CE/BE
∴(8-6)/8=CM/6
∴CM＝3/2，
∵點M在線段CQ的垂直平分線上，
∴CM＝MQ，
∴1×t＝3/2，
∴t＝3/2；
（2）如圖1，過點Q作QN⊥AF於點N，
∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，
∴AC＝√AB+√BC=√(64+36)=10cm
EF=√BF+√BE=√()64+36=10cm，
∵CE＝2cm，CM＝3/2cm，
∴EM＝√EC+√CM＝√(4++9/4)＝5/2，
∵sin∠PAH＝sin∠CAB，
∴BC/AC=PH/AP，
∴6/10=PH/2t，
∴PH＝6/5t，
同理可求QN＝6﹣4/5t，
∵四邊形PQNH是矩形，
∴PH＝NQ，
∴6﹣4/5t＝5/6t，
∴t＝3；
∴當t＝3時，四邊形PQNH為矩形；
（3）如圖2，過點Q作QN⊥AF於點N，
由（2）可知QN＝6﹣4/5t，
∵cos∠PAH＝cos∠CAB，
∴AH/AP=AB/AC，
∴AH/2t=8/10，
∴AH＝4/5t，
∵四邊形QCGH的面積為S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，
∴S＝1/2×6×（8﹣8/5t+6+8﹣8/5t+3/2）﹣1/2×3/2×[6﹣（6﹣4/5t）]﹣1/2×（6﹣4/5t）（8﹣8/5t+6）＝﹣16/25t+1/5t+57/2；
（4）存在，
理由如下：如圖3，連接PF，延長AC交EF於K，
∵AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，AC＝EF＝10cm，
∴△ABC≌△EBF（SSS），
∴∠E＝∠CAB，
又∵∠ACB＝∠ECK，
∴∠ABC＝∠EKC＝90°，
∵S△CEM＝1/2×EC×CM＝1/2×EM×CK，
∴CK＝(2×3/2)/(5/2)＝6/5，
∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，
∴PH＝PK，
∴6/5t＝10﹣2t+6/5，
∴t＝7/2，
∴當t＝7/2時，使點P在∠AFE的平分線上
【點評】
本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，矩形的性質，平行線分線段成比例，勾股定理，銳角三角函數，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．
2．（2019青島）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．點P從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；當一個點停止運動，另一個點也停止運動．過點P作PE⊥AB，交BC於點E，過點Q作QF∥AC，分別交AD，OD於點F，G．連接OP，EG．設運動時間為t（s）（0＜t＜5），解答下列問題：
（1）當t為何值時，點E在∠BAC的平分線上？
（2）設四邊形PEGO的面積為S（cm2），求S與t的函數關係式；
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使四邊形PEGO的面積最大？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）連接OE，OQ，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【分析】
（1）當點E在∠BAC的平分線上時，因為EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE＝EC，由此構建方程即可解決問題．
（2）根據S四邊形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）構建函數關係式即可．
（3）利用二次函數的性質解決問題即可．
（4）證明∠EOC＝∠QOG，可得tan∠EOC＝tan∠QOG，推出EC/OC=GQ/OG，由此構建方程即可解決問題．
【解答】
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝√10-√8＝6（cm），
∵OD垂直平分線段AC，
∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCO，
∵∠DOC＝∠ACB，
∴△DOC∽△BCA，
∴AC/OC=AB/CD=BC/OD,，
∴6/3=10/CD=8/OD，
∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），
∵PB＝t，PE⊥AB，
易知：PE＝3/4t，BE＝5/4t，
當點E在∠BAC的平分線上時，
∵EP⊥AB，EC⊥AC，
∴PE＝EC，
∴3/4t＝8﹣5/4t，
∴t＝4．
∴當t為4秒時，點E在∠BAC的平分線上．
（2）如圖，連接OE，PC．
S四邊形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）
＝1/2（4﹣4/5t）3+[1/23（8﹣4/5t）+1/2（8﹣5/4t）3/5t﹣1/23（8﹣5/4t）]
＝﹣3/8t+15/8t+6（0＜t＜5）．
（3）存在．
∵S＝﹣3/8（t﹣5/2)+267/32（0＜t＜5），
∴t＝時，四邊形OPEG的面積最大，最大值為267/32．
（4）存在．如圖，連接OQ．
∵OE⊥OQ，
∴∠EOC+∠QOC＝90°，
∵∠QOC+∠QOG＝90°，
∴∠EOC＝∠QOG，
∴tan∠EOC＝tan∠QOG，
∴EC/OC＝GQ/OG，
∴（8-5/4t）/3＝(3/5t)/(4-4/5t)，
整理得：5t﹣66t+160＝0，
解得t＝16/5或10（捨棄）
∴當t＝16/5秒時，OE⊥OQ．
【點評】
本題屬於四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數，多邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬於中考常考題型．
3．（2018青島）已知：如圖，四邊形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，動點P從點D開始沿DA邊勻速運動，動點Q從點A開始沿AB邊勻速運動，它們的運動速度均為2cm/s．點P和點Q同時出發，以QA、QP為邊作平行四邊形AQPE，設運動的時間為t（s），0＜t＜5．
根據題意解答下列問題：
（1）用含t的代數式表示AP；
（2）設四邊形CPQB的面積為S（cm），求S與t的函數關係式；
（3）當QP⊥BD時，求t的值；
（4）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點E在∠ABD的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【分析】
（1）如圖作DH⊥AB於H則四邊形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的長即可解決問題；
（2）作PN⊥AB於N．連接PB，根據S＝S△PQB+S△BCP，計算即可；
（3）當PQ⊥BD時，∠PQN+∠DBA＝90°，∠QPN+∠PQN＝90°，推出∠QPN＝∠DBA，推出tan∠QPN＝QN/PN＝3/4，由此構建方程即可解決問題；
（4）存在．連接BE交DH於K，作KM⊥BD於M．當BE平分∠ABD時，△KBH≌△KBM，推出KH＝KM，BH＝BM＝8，設KH＝KM＝x，在Rt△DKM中，（6﹣x)＝2+x，解得x＝8/3，作EF⊥AB於F，則△AEF≌△QPN，推出EF＝PN＝3/5（10﹣2t），AF＝QN＝4/5（10﹣2t）﹣2t，推出BF＝16﹣[4/5（10﹣2t）﹣2t]，由KH∥EF，可得KH/EF＝BH/BF，由此構建方程即可解決問題；
【解答】
解：（1）如圖作DH⊥AB於H，則四邊形DHBC是矩形，
∴CD＝BH＝8，DH＝BC＝6，
∴AH＝AB﹣BH＝8，AD＝√DH+√AH＝10，BD＝√CD+√BC＝10，
由題意AP＝AD﹣DP＝10﹣2t（0＜t＜5）
（2）作PN⊥AB於N．連接PB．在Rt△APN中，PA＝10﹣2t，
∴PN＝PAsin∠DAH＝3/5（10﹣2t），AN＝PAcos∠DAH＝4/5（10﹣2t），
∴BN＝16﹣AN＝16﹣4/5（10﹣2t），
S＝S△PQB+S△BCP＝1/2（16﹣2t）3/5（10﹣2t）+1/2×6×[16﹣4/5（10﹣2t）]＝6/5t﹣54/5t+72（0＜t＜5）
（3）當PQ⊥BD時，∠PQN+∠DBA＝90°，
∵∠QPN+∠PQN＝90°，
∴∠QPN＝∠DBA，
∴tan∠QPN＝QN/PN＝3/4，
∴[4/5×(10-2t)]/[3/5×(10-2t)]＝3/4，
解得t＝35/27，
經檢驗：t＝35/27是分式方程的解，
∴當t＝s時，PQ⊥BD．
（4）存在．
理由：連接BE交DH於K，作KM⊥BD於M．
當BE平分∠ABD時，△KBH≌△KBM，
∴KH＝KM，BH＝BM＝8，設KH＝KM＝x，
在Rt△DKM中，（6﹣x）＝2+x，
解得x＝8/3，
作EF⊥AB於F，則△AEF≌△QPN，
∴EF＝PN＝3/5（10﹣2t），AF＝QN＝4/5（10﹣2t）﹣2t，
∴BF＝16﹣[4/5（10﹣2t）﹣2t]，
∵KH∥EF，
∴KH/EF=BH/BF
∴(8/3)/[3/5×(10-2t)]=8/[16-4/5×(10-2t)-2t]，
解得：t＝25/18，
經檢驗：t＝25/18是分式方程的解，
∴當t＝25/18s時，點E在∠ABD的平分線．
【點評】
本題考查四邊形綜合題，解直角三角形、銳角三角函數、全等三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形或全等三角形解決問題，學會理由參數構建方程解決問題，屬於中考壓軸題．
4、（2017青島）已知：Rt△EFP和矩形ABCD如圖①擺放（點P與點B重合），點F，B（P），C在同一直線上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°．如圖②，△EFP從圖①的位置出發，沿BC方向勻速運動，速度為1cm/s，EP與AB交於點G；同時，點Q從點C出發，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s．過點Q作QM⊥BD，垂足為H，交AD於點M，連接AF，PQ，當點Q停止運動時，△EFP也停止運動．設運動時間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問題：
（1）當t為何值時，PQ∥BD？
（2）設五邊形AFPQM的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關係式；
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S五邊形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點M在線段PG的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【分析】
（1）如圖1中，當PQ∥BD時，CQ/CD＝CP/CB，可得t/6＝(8-t)/8，解方程即可；
（2）如圖2中，當0＜t＜6時，S五邊形AFPQM＝S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC，由此計算即可解決問題；
（3）假設存在，根據題意列出方程即可解決問題；
（4）如圖3中，連接MG、MP，作MK⊥BC於K．利用勾股定理，根據MG＝MP，列出方程即可解決問題；
【解答】
解：（1）如圖1中，
當PQ∥BD時，CQ/CD＝CP/CB，
∴t/6＝(8-t)/8
∴t＝24/7，
∴t＝24/7s時，PQ∥BD．
（2）如圖2中，
當0＜t＜6時，S五邊形AFPQM＝S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC
＝1/2（8+8﹣t+8）6﹣1/2（6﹣t）3/4（6﹣t）-1/2（8﹣t）t
＝1/8t﹣5/2t+117/2．
（3）如圖2中，假設存在，
則有（1/8t﹣5/2t+117/2）：48＝9：8，
解得t＝2或18（捨棄），
∴t＝2s時，S五邊形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8．
（4）存在．
理由：如圖3中，連接MG、MP，作MK⊥BC於K．
易知：AG＝6﹣3/4t．DQ＝6﹣t，DM＝KC＝3/4（6﹣t），PK＝8﹣t﹣3/4（6﹣t），MK＝CD＝6，
∵點M在PG的垂直平分線上，
∴MG＝MP，
∴AG+AM＝PK+MK，
∴（6﹣3/4t)+[8﹣3/4（6﹣t）]＝6+[8﹣t﹣3/4（6﹣t）]，
解得t＝32/17或0（捨棄），
∴t＝32/17s時，點M在線段PG的垂直平分線上
【點評】
本題考查四邊形綜合題、平行線分線段成比例定理、勾股定理、多邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用分割法求多邊形面積，學會用方程的思想思考問題，屬於中考壓軸題．
5．（2016青島）已知：如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，對角線AC，BD交於點O．點P從點A出發，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．連接PO並延長，交BC於點E，過點Q作QF∥AC，交BD於點F．設運動時間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問題：
（1）當t為何值時，△AOP是等腰三角形？
（2）設五邊形OECQF的面積為S（cm2），試確定S與t的函數關係式；
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S五邊形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【分析】
（1）根據矩形的性質和勾股定理得到AC＝10，①當AP＝PO＝t，如圖1，過P作PM⊥AO，根據相似三角形的性質得到AP＝t＝25/8，②當AP＝AO＝t＝5，於是得到結論；
（2）過點O作OH⊥BC交BC於點H，已知BE＝PD，則可求△BOE的面積；可證得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面積比可求得△DFQ的面積，從而可求五邊形OECQF的面積．
（3）根據題意列方程得到t＝9/2，t＝0，（不合題意，捨去），於是得到結論；
（4）由角平分線的性質得到DM＝DN＝24/5，根據勾股定理得到ON＝OM＝√OD-√DN＝，由三角形的面積公式得到OP＝5﹣5/8t，根據勾股定理列方程即可得到結論．
【解答】
解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10，
①當AP＝PO＝t，如圖1，
過P作PM⊥AO於點M，
∴AM＝1/2AO＝5/2，
∵∠PMA＝∠ADC＝90°，∠PAM＝∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴AP/AC=AM/AD，
∴AP＝t＝25/8，
②當AP＝AO＝t＝5，
∴當t25/8為或5時，△AOP是等腰三角形；
（2）過點O作OH⊥BC交BC於點H，則OH＝1/2CD＝1/2AB＝3cm．
由矩形的性質可知∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，又得∠DOP＝∠BOE，
∴△DOP≌BOE（ASA），
∴BE＝PD＝8﹣t，
則S△BOE＝1/2BEOH＝1/2×3（8﹣t）＝12﹣3/2t．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比為DQ/DC＝t/6，
∴S△DFQ/S△DOC＝t/36
∵S△DOC＝1/4S矩形ABCD＝1/4×6×8＝12cm，
∴S△DFQ＝12×t/36＝t/3
∴S五邊形OECQF＝S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ＝1/2×6×8-（12﹣3/2t）﹣t/3
＝-1/3t+3/2t+12；
∴S與t的函數關係式為S＝-1/3t+3/2t+12；
（3）存在，
∵S△ACD＝1/2×6×8＝24，
∴S五邊形OECQF：
S△ACD＝（-1/3t+3/2t+12）：24＝9：16，
解得t＝3，或t＝3/2，
∴t＝3或3/2時，S五邊形OECQF：S△ACD＝9：16；
（4）如圖3，過D作DM⊥PE於M，DN⊥AC於N，
∵∠POD＝∠COD，
∴DM＝DN＝24/5，
∴ON＝OM＝√OD-√DN＝7/5，
∵OPDM＝3PD，
∴OP＝5﹣5/8t，
∴PM＝18/5﹣8/5t，
∵PD＝PM+DM，
∴（8﹣t)＝（18/5﹣5/8t)+（24/5)
解得：t＝16（不合題意，捨去），t＝112/39，
∴當t＝112/39時，OD平分∠COP．
【點評】
本題考查了矩形的性質，角平分線的性質，相似三角形的判定和性質，圖形面積的計算，全等三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．