從歐幾裡得視角看到的是一場革命，它將延伸到宇宙中

我記得我的數學教育是從數字開始的。首先是我的母親，然後是我的小學老師，教我如何數數和計算。然而，2400年前，一切都完全不同，孩子們首先學習幾何。

在耶穌之前，幾何學比數字更重要。例如，當西方世界第一所高等教育機構的創始人柏拉圖回到雅典時，他決定建立「學院」，它將成為世界的知識中心。為此目的，他在學院門口刻下「ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣΜΗΔΕΙΣΕΙΣΙΤΩ」（翻譯成「不懂幾何的人不得進入」)。柏拉圖的理想世界理念與美麗和智慧有著緊密的聯繫，這兩者在數學中都得到了很好的體現。後來，一個年輕人，歐幾裡得進入那扇門，成為數學家和哲學家，並寫了一個幾何書籍——《幾何原本》，成為有史以來最著名的教科書，也是繼《聖書》和《古蘭經》之後印刷最廣泛的書籍。

《幾何原本》之所以如此有影響力，是因為它包含了直到歐幾裡得時代的一系列重要數學著作。歐幾裡得的大部分思想都是作為啟示而來，並奠定了歐幾裡得幾何學的基礎。這些想法成為了兩千年來幾何教學的核心。在很長一段時間裡，如果你沒有讀過《幾何原本》，你就不會被認為是有知識的。即使在今天，當你閱讀《幾何原本》的時候，你會發現它包含了非常有用的現代理論，這使得它與眾不同。

• 奧利佛·伯恩：《幾何原本》內容

歐幾裡得生活在公元前300年左右。對於那些對數學感興趣的人來說，他是一個很好的楷模。他死後，他的思想和作品成為了天才思想的匯聚點。有學問的人會讀他的書來發現自己智慧的力量，即使他們不是數學家。

例如，在《幾何原本》被寫出來的2000多年後，在宿舍裡每個人都上床睡覺後，亞伯拉罕·林肯在燈光下閱讀歐幾裡得的《原理》，以增強自己的推理能力。當他成為總統時，他還在閱讀《幾何原本》，並在他執政期間做出正確的政治決策。

同樣，小說家和哲學家陀思妥耶夫斯基在他的書《卡拉馬佐夫兄弟》中提到歐幾裡得（下圖中高亮的部分）：

• 陀思妥耶夫斯基《卡拉馬佐夫兄弟》，第203頁

譯文：如果上帝存在，並且他真的創造了世界，那麼，他一定是根據歐幾裡得的幾何學和人類的思維創造了世界。然而，仍然有一些幾何學家和哲學家，甚至一些最傑出的人，懷疑整個宇宙，或者更廣泛地說，整個存在，是否只是歐幾裡得幾何學中創造出來的。他們甚至敢於夢想，根據歐幾裡得理論，兩條平行線永遠不會在地球上相遇，而可能會在無限遠處的某個地方相遇。

在那之後的一個世紀，史上最偉大的思想家之一，阿爾伯特·愛因斯坦，在他關於理論物理學方法的文章中，對歐幾裡得和他的書給予了更強有力的支持。

• 愛因斯坦對科學的貢獻，第271頁

在我們這個時代的精英哲學家伯特蘭·羅素的話語中，我們發現了對歐幾裡得清晰而簡潔的評價：「歐幾裡得的《幾何原本》無疑是有史以來最偉大的著作之一，也是希臘智慧的完美豐碑之一。」他還在自傳中說：「11歲時，我開始學習歐幾裡得，我哥哥是我的導師。」這是我生命中最重要的事件之一，就像初戀一樣耀眼。我沒想到世界上還有這麼好吃的東西。」

• 《伯特蘭·羅素自傳：1872-1914》第36頁

歐幾裡得與眾不同。我們對他的個人生活、家庭和非數學方面的好奇心幾乎一無所知。然而，我們知道的一件事是他是當時亞歷山大市最受尊敬的老師之一。當其他人還在為食物和住所而工作時，歐幾裡得卻在研究抽象的概念。他對建造和創造城市並不像對數學概念那麼感興趣。他意識到社會在變化，人們需要一種合乎邏輯的思維方式來統治城市。這就是為什麼這個時代出現了數學理論思想的激增。

當他坐在海邊思考我們所生活的這個世界的問題時，他發現了今天通過衛星照片來證實的真理。他只帶了一個直尺和一個指南針就開始了他的旅程。這是歐幾裡得用來研究所有幾何的唯一工具。首先，他用他的工具畫了兩個點和一條線，從中他得到了很多更令人興奮的東西，讓我們學習。如果我們把數學定義為一種智慧的旅程，歐幾裡得的思想絕對是第一步。從歐幾裡得的視角看到的景色是一場革命，它將延伸到太空中。

的確，在歐幾裡得看來，數學之所以如此重要，是因為它純粹是以真理為導向的，具有藝術之美和抽象思維的價值。他的數學方法仍然是一種完美的推理模型。他做了一些以前沒有做過的事情。我們可以說，他的作品是數學作為分析演繹的開始。他給我們上了寶貴的一課。當我們憑直覺感覺某件事是正確的，我們需要證明它對每個人來說都是正確的。他向我們展示了證明的力量並幫助我們找到普遍真理的邏輯路徑。他把數學變成了一門能百分之百確定地證明事物的學科，並且可以應用於各種情況。

當你閱讀歐幾裡得的《幾何原本》時，你會注意到歐幾裡得的數學方法是獨特而直接的。他從基本的假設開始比如，如果這是真的，那麼這一定是真的，或者如果這是錯的，那麼它的反面一定是真的。然後，他要麼證明他的假設，要麼證明他的假設的對立面，並通過將結果寫成一個定理來得出結論。重要的是歐幾裡得選擇了普適性，他沒有為具體問題找到臨時解決辦法。

讓我們看看歐幾裡得關於質數的證明。質數沒有什麼特別的地方除了它們有無窮多個。我們不能百分之百確定，但有理由相信歐幾裡得是第一個證明有無窮多個質數的人。他的證明也很可能是數學史上的第一個證明。然而，必須提到歐幾裡得從來沒有明確地寫過，「有無窮多個素數」，相反，他寫道：「質數比任何給定的質數數量都要多」。之所以使用這種奇怪的措辭，是因為「無限」這個概念與今天不同，而且是一個不斷發展的概念。

我相信你們都遇到過質數。在給出歐幾裡得的獨特證明之前，我們應該討論一下質數，因為定義是理解數學的重要部分。什麼是質數？

定義：質數是比1大的整數，且只能被1和它自己整除。

數字1是這個定義的例外。雖然1滿足質數的所有條件，但我們不假設它是質數是有充分理由的。這是因為數學家需要做出實際的定義。如果1被認為是一個素數，那麼在對任何數應用質因數分解時都會遇到問題。例如，如果你對18做質因數分解，你需要寫:

18 = 2 x3x3x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1……

我認為這是說1不是質數的充分理由。

• 第一個質數。

然後他問自己:「如果我繼續寫作，我會停止嗎？」他希望有無窮多個質數，因為否則，無論是對他還是他之後的任何一位數學家來說，生活都將是單調乏味的。這是一個非常具有挑戰性的問題，因為他必須煞費苦心地檢查每個數字，看它是不是質數。沒有計算機幫助他做計算。計算13是否是質數是很容易的，但很大的數字需要幾天或幾周的時間才能確定（是否是素數）。即使我們有機會把世界上最強大的計算機捐贈給歐幾裡得研究，也不足以平息他的好奇心。計算機可以找到一個巨大的質數，但我們還不知道它是否是最大的質數。

歐幾裡得僅僅利用他那個時代的數學就發現了許多真理。既然相信某事並不足以說服人們，他就必須再一次尋找絕對的確定性。只有這樣，歐幾裡得才能用一種數學方法來解決這個問題。他只是需要一個絕妙的想法，並以一個優雅的證明而告終。這就是為什麼他首先定義了一個定理。

定理：質數比任何給定的質數都要多。

他的證明對歐幾裡得來說意義重大，因為他的定理必須是可靠的。他計劃使用一種思維實驗，這是一種被稱為反證法的數學技巧。首先，他想像自己生活在一個質數有限的宇宙中。這樣，他就可以把它們寫在清單上。這可能是一個很長的列表，但質數在他的宇宙中是有限的。他不知道最大的質數，所以他叫它p。「他得到了一張很大的紙，寫下了世界上所有的質數。他的列表從2,3,5,7開始，一直到「p」，這是[理論上]最大的質數。歐幾裡得於是想出了一個絕妙的主意:「我要把所有這些數相乘，然後加1。」

他不知道這個數是多少，但它是所有質數的乘積加上1。他已經知道這個數必須有一個質因數因為每個大於1的數都必須有一個質因數。算術基本定理表明這個數本身是質數的可能性仍然存在。

算術基本定理：每個大於1的整數都可以用本質上唯一的方式表示為素數的乘積。

換句話說，它們是構成所有數字的基本元素。老師們喜歡說:「質數是數學中的原子。」

歐幾裡得需要驗證一下。質因數能是2嗎？答案是否定的，因為這個數是另一個數的兩倍加上1。所以餘數是1。質因數會是3嗎？答案還是no，因為這個數是其他數的3倍加上1，餘數是1。質因數能是5嗎？不，因為這個數是其他數的5倍加上1，餘數是1。對於每一次假設，都會發生同樣的事情。因此這個數p一定是質數，從而證明質數有無限多個。

很久以前歐幾裡得所做的是如此美妙，他擴大了我們的知識面。就像我前面說的，從歐幾裡得的視角看到的景色是一場革命，它將延伸到太空中。對我們來說，擴展數學邊界的可能性應該是令人興奮的。