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歐幾裡得的《幾何原本》
這部書（《幾何原本》）已經基本囊括了幾何學從公元前7世紀的古埃及到公元前4世紀（歐幾裡得生活的時期）前後總共400多年的數學發展歷史。它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學理論，而且通過歐幾裡得開創性系統整理和完整闡述，使這些遠古的數學思想發揚光大。
它開創了古典數論的研究，在一系列公理、定義、公設的基礎上，創立了歐幾裡得幾何學體系，成為用公理化方法簡歷起來的數學演繹體系的最早典範。
歐幾裡得所著的《幾何原本》大約成書與公元前300年，原書早已失傳。全書共分13卷。在15世紀末期，《幾何原本》是古登堡使用新印刷成書的第一批書籍之一。在今天，歐幾裡得的《幾何原本》是人類歷史上再版次數第二多的著作，僅次於《聖經》。
讓我們翻閱這部不朽之作的第一卷，歐幾裡得提出了以下5分公理：
（1）任意兩點都能夠定義一條線段。
（2）一條線段能夠向兩端無限延伸。
（3）給定一條線段，能夠畫出一個以該線段的一個端點為圓心，線段長度為半徑的圓。
（4）所有的角度都可疊加。
（5）若一條直線與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩個直角和，那麼這兩條直線在各自不斷地延伸後，會在內角和小於兩直角的一側相交。
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公元前287年，阿基米德誕生於希臘西西里島敘拉古附近的一個小村莊，他將開創一種新的數學風格。他是人類歷史上最偉大的發明家、解題者，是那些具有提出全新的、革命性的的想法之能力的人物中的佼佼者。他發現了槓桿原理（即：動力×動力臂=阻力×阻力臂，用代數式表示為F1*L1=F2*L2。式中，F1表示動力，L1表示動力臂，F2表示阻力，L2表示阻力臂。）
相傳敘拉古赫農王讓工匠替他做了一頂純金的王冠。但是在做好後，國王疑心工匠做的金冠並非純金，工匠私吞了黃金，但又不能破壞王冠，而這頂金冠確又與當初交給金匠的純金一樣重。這個問題難倒了國王和諸位大臣。經一大臣建議，國王請來阿基米德來檢驗皇冠。
最初阿基米德對這個問題無計可施。有一天，他在家洗澡，當他坐進澡盆裡時，看到水往外溢，突然想到可以用測定固體在水中排水量的辦法，來確定金冠的體積。他興奮地跳出澡盆，連衣服都顧不得穿上就跑了出去，大聲喊著「尤裡卡！尤裡卡！」（意思是「找到了」。）
他經過了進一步的實驗以後，便來到了王宮，他把王冠和同等重量的純金放在盛滿水的兩個盆裡，比較兩盆溢出來的水，發現放王冠的盆裡溢出來的水比另一盆多。這就說明王冠的體積比相同重量的純金的體積大，密度不相同，所以證明了王冠裡摻進了其他金屬。
這次試驗的意義遠遠大過查出金匠欺騙國王，阿基米德從中發現了浮力定律（阿基米德原理）：物體在液體中所獲得的浮力，等於它所排出液體的重量。（即廣為人知的排水法）
人們還傳說，阿基米德發明了一個反射鏡系統，能夠集中太陽的光線，灼燒那些靠近的地方軍艦。
有一天敘拉古城遭到了羅馬軍隊的偷襲，而敘拉古城的青壯年和士兵們都上前線去了，城裡只剩下了老人、婦女和孩子，處於萬分危急的時刻。就在這時，阿基米德為了自己的祖國站了出來。
阿基米德讓婦女和孩子們每人都拿出自己家中的鏡子一齊來到海岸邊，讓鏡子把強烈的陽光反射到敵艦的主帆上，千百面鏡子的反光聚集在船帆的一點上，船帆燃燒起來了，火勢趁著風力，越燒越旺，羅馬人不知底細，以為阿基米德又發明了新武器。就慌慌張張地逃跑了。
這些武器弄的羅馬軍隊驚慌失措、人人害怕，連將軍馬塞拉斯都苦笑承認：「這是一場羅馬艦隊與阿基米德一人的戰爭」、「阿基米德是神話中的百手巨人」。
在數學領域，也是阿基米德取得了人類在π值計算上的第一個偉大的進步。在阿基米德之前，也有人對圓周產生興趣，但是他們的研究方法往往缺乏嚴謹性。而阿基米德明白，計算π的準確數值是非常苦難的，甚至是不可能的事情。因此他所能做到的也只是計算出一個π的近似值，但是他的計算方法是非常卓越的。在經過不斷的演算，阿基米德得出的π的精確值應該在兩個數值之間的區域中，用現在的十進位的方法表示，就是3.1408和3.1428之間。
那麼阿基米德是用了什麼方法呢？
為了計算π的數值，阿基米德使用規則的多邊形來外接「內切」圓周。如圖1所示，一個直徑為1個的單位的圓周，它的周長為π，首先用一個正方形來外接這個圓。
圖1的正方形邊長為1（等於該圓的直徑），因此周長為4。因為該圓的周長比這個正方形的周長要小，由此可見，π是小於4的。
相反，如果在圓周中內切一個正六邊形，如圖2所示，該正六邊形是由6個邊長為0.5個大衛（直徑的一半）的等邊三角形構成的。於是，該正六邊形的周長為6*0.5=3.因此我們得出結論π的數值比3大。
到現在為止，數值在3和4區間，依然非常不準確。為了進一步縮小這個區間，我們現在有必要增加正多邊形的邊數。如果我們將正六邊形的每條邊一分為二，那麼將得到一個正十二邊形，比此前的正六邊形更靠近圓周。（圖3）
經過畢達哥拉斯定理幾何計算之後，我們得出結論，以上正十二邊形的周長約為3.11.於是，π的數值必然要大於這個數字。
為了將估值區間精準到小數點後3位，阿基米德重複了三次如上操作。他將正多邊形每一條邊長一分為二，然後分別獲得了正二十四邊形、正四十八邊形和正九十六邊形。
如圖4所示，因為現在正多邊形的每條邊都非常靠近內圓周，因此肉眼幾乎不可能分辨出來。這就是阿基米德得出π值大於3.1408這個結論的過程。接下來，通過在圓的外部做外接的正多邊形，並重複如上的過程，阿基米德得出結論，π值小於3.1428。
理論上來說，想要得出精準的π值，只要持續不斷的分割正多邊形，就會得到越來越精準的區間。
據說，公元前212年，羅馬軍隊入侵攻佔了敘拉古，然後，城牆被攻破之時，時年75歲的阿基米德還在專心致志的研究著他的集合問題，根本不知道周圍發生了什麼。當一位士兵從他身旁走過時，正在地上作圖的阿基米德漫不經心地說道：「別弄亂了我的圓」這位士兵惱羞成怒，一件刺穿了這位曾說過「給我一個支點，我就能撬起整個地球。」的古希臘學者的身體。
指揮這場攻城戰役的馬克盧斯將軍將殺死阿基米德的士兵當作殺人犯予以處決，他為阿基米德舉行了隆重的葬禮，並為阿基米德修建了一座陵墓，在墓碑上根據阿基米德生前的遺願，刻上了「圓柱內切球」這一幾何圖形。
夜幕降臨，當這位將軍抬頭矚目漆黑的夜空時，他又在想什麼呢？