第一章 集合 【知識網絡】【學法點撥】 集合語言作為現代數學的基本語言 ，始終貫穿在整個高中數學課程裡 ．學習過程中 ，要 認清集合中元素的特徵，會用列舉法、描述法、圖形等表示一個集合，會判斷元素與集合 、 集合與集合之間的關係 ．集合又是一種工具 ，可以進行運算 ．因此 ，要會進行集合的交 、並 的運算 ， 要會求某個集合在全集中的補集 ． 在整個的學習過程中 ， 會藉助 Venn 圖和數軸幫 助理解、分析、解決問題．【 學習 前景】 1．可以用集合的語言簡潔、準確地表達研究對象．2．可以用自然語言、符號語言、圖形語言表達和交流． 1．集合的概念與表示 【學習目標】 1．了解集合的含義，理解元素與集合的屬於關係．2．會用列舉法和描述法表示集合．3．體會分類討論思想在處理有關集合問題中的應用． 【基礎呈現】 1． 在 3, 1.2, 1, 5,13,,0中，屬於正數集合的元素個數是（ B）． A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 2． 下列說法正確的是（ D）． A． 3 N B． 2 Q C． 0 Z D． 3 R 3． 集合 {x|1x5, x Z}中元素的個數是（ B）． A． 4 B． 3 C． 5 D．無數個 4． 由 「 element 」 中的字母構成的集合中，元素是 e,l,m, n, t． 集合 集合的運算 集合之間的關係 集合的表示 集合的應用
5． 用符號 或 填空： 3 R； 12 N． 6． 已知集合 A表示關於 x的方程 x22x30的解集 ，若用描述法表示 ，則 A= {x |x22x30} ；若用列舉法表示，則 A {1, 3} ． 7． 已知集合 A中有 0, 1, a21，若 3 A，求實數 a的值． 解 因為 3 A，所以 a213，解得 a 2，經檢驗， a 2符合題意． 【例題展示】 例 1 判斷下列對象能否構成一個集合 ．如能 ，請用適當的方法表示 ；如不能 ，請說明 理由． （ 1）不超過 4的數 ；（ 2）方程 x2x0的解 ；（ 3）我校高一（ 1）班身高超過 170 cm 的同學 ；（ 4）所有非常大的數． 分析 集合中的元素具備確定性． 解 （ 1）能． {x|x≤ 4, x R}． （ 2）能． {x|x2x0} （描述法）或 {0, 1} （列舉法 ）． （ 3）能． {我校高一（ 1）班身高超過 170 cm 的同學 }． （ 4）不能．所描述的對象不具有確定性． 說明 判斷給定的對象能否構成一個集合 ，關鍵在於是否具有一個明確的標準 ，對於給 定對象都能區分．如第（ 4）問中 ，「 非常大 」 的標準不明確． 例 2 用適當的方法表示集合： （ 1） 10 的正約數組成的集合 ；（ 2）二次函數 yx2上的所有點組成的集合； （ 3）不等式 x14的解集 ；（ 4）拋物線 yx23x與 x軸的公共點的集合． 分析 根據集合中元素的個數選擇恰當的方法表示集合． 解 （ 1） {1, 2, 5, 10} ． （ 2） {(x,y)|yx2,x,y R}． （ 3） {x|x14, x R}． （ 4） {(0, 0), (3, 0)} ． 說明 （ 1）用列舉法和描述法表示集合時，一要明確集合中的元素滿足的條件；二要根 據集合中元素的個數選擇恰當的方法． （ 2）對於一些自行定義的新概念、新運算、新法則、新運算等，關鍵在於要準確理解 這些定義，然後在該定義的條件下完成指定要求． 例 3（ 備用題 ）已知集合 A{1, a,a2a}，若 2 A，求集合 A． 解 因為 2 A，所以 a2或 a2a2． 當 a2時， A{1, 2, 6} ；當 a2a2時，則 a1或 a2，由集合中元素的互異性 可知， a1應捨去．所以 A{1, 2, 2} ． 例 4（ 備用題 ）已知集合 A{x|ax22x10, x R}， a為實數． （ 1）若 A為空集，求 a的取值範圍；
（ 2）若 A為單元素集，求 a的值； （ 3）若 A中至多一個元素，求 a的取值範圍． 分析 先判斷是一元一次方程還是一元二次方程． 解 （ 1）若 A為空集，則 a0且 44a0，所以 a1． （ 2）若 A為單元素集，則當 a0時， A中只有一個元素 12，符合要求；當 a0時 ， 由 44a0，即得 a1，此時 A中只有一個元素 1．因此， a0或 a1． （ 3）若 A中至多一個元素，則 A為空集或單元素集，所以 a的取值範圍是 a0或 a ≥ 1．說明 對於方程 ax2bx c0，應討論二次項係數是否為零． 【總結提煉】 1．集合中元素的三個特徵：互異性、無序性、確定性．2．當集合中元素個數比較少時可用列舉法表示該集合；當元素個數比較多或是無限集 時，可用描述法． 3．要區分數集與點集． 【學習反饋】 1． 給出下列對象 ：① 所有好心人 ；② 大於 5的自然數 ；③ 直線 yx1上的所有點 ．其 中能組成集合的是（ A）． A． ②③ B． ② C． ③ D． ①②③ 2． （ 多選題 ） 給出下列關係 ： ① 12 Q； ② 3 Z； ③ Q； ④ 0 N． 其中正 確的是（ ACD ）． A． ① B． ② C． ③ D． ④ 3． 用列舉法表示集合｛小於 10 的素數 ｝，下列表示正確的是（ B）． A． {1, 3, 5, 7} B． {2, 3, 5, 7} C． {1, 2, 3, 5, 7} D． {3, 5, 7} 4． 已知集合 A是直線 yx1上的所有點組成的集合，則下列說法正確的是（ D）． A．集合 A是有限集 B． 2 A C．點 (1, 1) A D．集合 A是無限集 5． 下列說法正確的是（ D）． A．所有在 N 中的元素都在 N*中 B．所有不在 N*中的元素都在 Z中 C．所有不在 Q 中的元素都不在 R 中 D．方程 x210在實數集中的解集是空集 6． 下列集合不包含全部奇數的是（ A）． A． {x|x4n1, n Z} B． {x|x2n1, n Z} C． {x|x2n1, n Z} D． {x|x2n1, n Z} 7． 已知 A{a,a2}，若 1 A，則 a 1 ． 8． 一次函數 y2x4的圖象與 y軸的交點組成的集合是 {(0, 4)} ，與 x軸 交點組成 的集合是 {(2,0)} ．
9． 設 A{x|1≤ x4, x N}，用列舉法表示集合 A為 {1, 2, 3} ． 10 ． 設集合 A{x|x2a1, x R} （ 1） 若集合 A中只有一個元素，求實數 a的值； （ 2）若集合 A是空集，求實數 a的取值範圍． 解 （ 1）因為集合 A中只有一個元素，所以該元素一定是 0，故 a1． （ 2） 因為集合 A是空集，則 a10，所以 a1． 11． 已知集合 A{x|x22ax 2a10, x R}． （ 1） 若集合 A中有兩個元素，求實數 a的取值範圍； （ 2） 設集合 B{1, 3} ，若集合 A與集合 B有相同的元素，求實數 a的值． 解 （ 1）因為集合 A中有兩個元素，所以 4a24(2 a1) 0，所以 a1． （ 2）因為 x22ax 2a1(x1)( x2a1)，所以 A{1, 2a1} ．由於集合 A與集 合 B有相同的元素，所以 2a13，即 a2． 12 ． 已知集合 A{6 的正約數 }，集合 B{1, a,2a1, a22} ． （ 1） 求集合 A； （ 2） 若集合 A與集合 B中的元素完全相同，求實數 a的值； （ 3）若 a2 B，求實數 a的值． 解 （ 1）集合 A{1, 2, 3, 6} ． （ 2）當 a2時 ，B{1, 2, 3, 6} ，符合題意 ；當 a3時 ，B{1, 3, 5, 11} ，不符合題意 ； 當 a6時， B{1, 6, 11, 38} ，不符合題意．綜上， a2． （ 3）當 a21時， a1，經檢驗， a1不符合，故 a1； 當 a2a時， a0, 1，經檢驗， a1不符合，故 a0； 當 a22a1時， a1，經檢驗， a1不符合； 當 a2a22時， a不存在． 綜上， a0或 a1．