本文系材料人網多尺度模擬與計算專欄供稿，歡迎點擊原文連結或掃描文末二維碼訂閱。力學測試是力學研究最基礎的研究方法。最早的力學測試的科學方法可以追溯到文藝復興時期的歐洲。圖1（a）為達文西設計的線材（wire）單向拉伸下的斷裂測試。將左邊球袋中的重量相同的小球依次加入線材下懸掛的鐵桶中，在一定程度時，線材斷裂。用這種方法可以比較不同截面積，不同材料對線材斷裂強度的影響。圖1（b和c）為伽利略在《關於兩門新科學的對話》中設計的懸臂梁彎曲測試（bending test of a cantilever beam），和棒材單拉測試（Uniaxial tension of a bar）。圖2為材料測試領域國際領先公司MTS最新的材料測試機。這臺機器可以對金屬、高分子材料進行單向拉伸、單向壓縮、斷裂和疲勞測試。我們可以看出，現在的材料測試雖然較達文西和伽利略時期更為精細，但沒有本質變化。
圖1，（a）達文西的線材單拉實驗。（b）伽利略的懸臂梁彎曲實驗。圖中A點受拉應力，B點受壓應力。（c）伽利略的棒材單拉實驗。
力學理論上，用來表示材料對外力響應的數學模型叫做「本構關係」（constitutive relation）。這種模型一般從基礎的力學理論出發，提出一個應變能（strain energy）關於應變（strain）的函數，例如小變形線性彈性力學中的胡克定律，大變形非線性彈性力學中的Neo-Hookean模型等等。本構方程裡的材料參數一般通過擬合各種工況下的實驗數據來獲得。在這種經典的力學模型框架下，我們不關心「為什麼」（why），而只關心「是什麼」（what）。也就是說，我們只滿足於實驗測得的這些數據所給我們提供的信息，測到什麼就是什麼，而不去關心為什麼被測材料會有這樣的力學響應。這種根據現象而得到的模型，可以被稱為「現象學模型」（phenomenological model）。然而，這種現象學的模型已經無法滿足科研人員的好奇心。科學探索的欲望不再使人滿足於「是什麼」，而驅使我們追問「為什麼」。而且，隨著科學觀測手段的升級，我們可以打開微觀世界的大門，對分子、原子尺度的現象進行測量。在近期發表的物理學頂級雜誌Physical Review Letter的論文中【1】，研究人員用掃描透射顯微鏡（scanning transmission electron microscopy STEM）第一次在原子尺度觀測到了裂紋的發展、癒合和裂紋尖端的震動，見圖3（a）。在近期發表在Science子刊Science Advances論文中【2】，研究人員用掃描微波阻抗顯微鏡（scanning microwave impedance microscopy）對最近大熱的魔角石墨烯（graphene bilayer with magic angle）的莫列波紋（moiré pattern）進行觀測，得到解析度高達5納米的清晰圖像。
更重要的是，只有我們從分子尺度出發，研究微觀尺度的粒子相互作用對宏觀材料屬性的影響，在搞清楚原理的基礎上進行材料的力學模擬，才可能真正形成對其力學性質的洞見，避免在現象學模型這個「黑盒子」裡盲人摸象。因此，多尺度模型（multiscale modeling）營運而生，成為力學模擬和計算的熱門方向。
多尺度模型，即在不同的長度、時間尺度下對材料的屬性進行研究，提供連接不同尺度模型的橋梁，讓在不同尺度下適用的模型相互溝通，自下而上的對材料的不同屬性進行研究。圖3，（a，左圖）金屬錸（Rhenium）中的裂紋尖端圖像。（b，右圖）雙層石墨烯的莫列波紋圖像。最早提出多尺度觀念的人，筆者不得而知，但這一觀念的提出至少可以追溯到匈牙利裔物理學家Egon Orowan做的一個有趣的實驗。在他1944年發表的論文中【3】，他說了這樣的一段話：「我們做單向拉伸實驗可以非常簡單快捷，但我們不可能期待從其結果中得到有用信息。因為沒有人真正知道這些實驗結果意味著什麼。這些實驗結果是材料內部一系列複雜物理過程的一個外在表現。在某種程度上，一塊金屬的內在物理現象的複雜性不亞於一塊精緻的懷表。因此，想通過單向拉伸實驗之中得到的寥寥無幾的實驗數據，試圖知道金屬的變形機理幾乎是過於樂觀的痴人說夢。就像期待從一塊懷表的抗壓強度中學習它複雜的工作原理是一樣的。」
Orowan不是一個光說不練的人，他真把他的懷表在壓力機上給壓碎了，見圖4。他在MTS的壓力機上用位移控制（displacement-control）完成這個實驗。他將懷表豎立，固定底部，在頂部持續施加恆定速率的向下位移，整個實驗持續兩分鐘。Orowan教授還得到了這個實驗的力—位移曲線，見圖5（a）。在整個實驗過程中，懷表之中的齒輪、指針、錶盤、金屬邊框進行了複雜的相互作用，但我們顯然很難從圖5（a）的曲線中看出這一複雜的過程，我們也無從知道這塊懷表到底是如何被壓得稀爛的。更進一步，Orowan教授指出，就算是兩條看上去平滑美觀，非常相似的曲線，材料的作用機理也有可能完全不同。圖5（b）是銅鎳合金的單拉實驗結果，圖5（c）是質密牛骨的單拉實驗結果，二者看起來好像很相似，但其材料相應和斷裂機理其實完全不同。
因此，為了明白材料宏觀屬性的作用機理，我們迫切地需要從微觀入手對材料的微觀相互作用進行充分研究。接下來，我來介紹多尺度模型的特點和分類。
圖4，Orowan教授可憐的懷表，實驗前、中、後。
圖5，（a）Orowan教授懷表的單壓實驗中的力—位移曲線。（b）銅鎳合金的單拉實驗結果（c）質密牛骨的單拉實驗結果。當我們把觀察的尺度放到微觀，我們就會發現微觀世界的時間尺度和長度尺度與我們熟知的宏觀世界完全不同。
因此，在不同尺度下，我們選擇的力學模型也非常不同。例如，我們要研究銅的塑性變形過程，見圖（6）。在宏觀尺度下（毫米級別）， 我們可以使用一些現象學模型，如J-2塑性理論、Johnson—cook模型等等。如果我們進入微米級別，我們就會發現以晶格形式存在的銅。晶格的大小，晶格之間的相互作用，以及晶格邊界的運動都會影響銅的塑性。如果我們將尺度進一步縮小到納米尺度，就會發現其實金屬材料塑性的根源在於位錯的形成和移動。最後，如果我們進一步放大到單個原子尺度，我們可以觀察到，位錯的本質其實是一種原子排列的缺陷。不完美的原子排列導致位錯，位錯的形成、移動和聚集形成材料的塑性、疲勞和斷裂等一系列宏觀現象。就計算量而言，不同尺度的模型能處理的長度尺寸和時間尺寸也是不同的，往往越微觀，計算複雜性就越大，對應的長度尺寸和時間尺寸也就越小。對於宏觀的材料，我們可以用有限元（finite element method FEM）來計算以米為單位大小的模型。如果用分子動力學（Molecular dynamics MD）模型，最多可以計算幾百萬個原子在幾百納秒之內的相互作用。更進一步，如果用到量子力學的模型（DFT），世界最頂尖的計算機也只能完成幾百個原子的模擬。
圖6，一枚銅質硬幣中不同的時間尺度和長度尺度。（a）晶格（b）晶格邊界（c）位錯（d）分子尺度下的排列缺陷。
多尺度模型的分類
按方法論來劃分，多尺度模型可以分為順序多尺度方法（sequential multiscale modeling ）和共時多尺度方法（concurrent multiscale modeling）。順序多尺度方法的思想其實蘊含在大多數的科學研究之中，就是先從小尺度上對材料屬性進行研究，並得到一些有用的結論和參數。接下來，將這些結論和參數作為先驗的知識、和已知量，在大尺度下對材料進行研究。在順序多尺度方法中，不同尺度的研究有先後之分，先小尺度，再大尺度。當對大尺度進行研究的時候，我們就完全不用再理會小尺度的模型了。共時多尺度方法，顧名思義，就是不同尺度的模型同時考慮，不同尺度下的計算同時進行。往往大尺度的計算會為小尺度提供邊界條件（boundary condition），小尺度的精細計算會為大尺度提供能量形式。模型計算過程就這樣交叉往復地在兩個尺度下同時進行。比較經典的共時多尺度計算方法為美國明尼蘇達大學Ellad Tadmor教授提出的Quasicontinuum多尺度模型，用來解決晶體物質的斷裂、大變形、位錯問題【4】。在這個模型中，材料被分為不同的區域，應力集中區使用分子模擬，非應力集中區使用有限元模擬。而有限元模擬的能量形式是根據柯西—波爾近似（Cauchy-Born rule）從原子尺度的計算得來的。在本專欄接下來的文章中，我們會對Quasicontinuum方法進行詳細的介紹。【1】 In Situ Scanning Transmission Electron Microscopy Observations of Fracture at the Atomic Scale https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.125.246102【2】 Ultrahigh-resolution scanning microwave impedance microscopy of moiré lattices and superstructures https://advances.sciencemag.org/content/6/50/eabd1919【3】 E. Orowan. Discussion of the significance of tensile and other mechanical test properties of metals. In Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers, Volume 151, pages 131–146, London: Institute of Mechanical Engineers, 1944.【4】 Quasicontinuum analysis of defects in solids https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01418619608243000本專欄旨在向廣大力學研究者介紹多尺度模型研究的歷史和進展。文章類型包括（不限於）以下幾種：
材料人正在誠邀計算模擬、分析測試方面的人才入住開設專欄，歡迎聯繫
內容合作微信：cailiaoren010
內容合作郵箱：kefu@cailiaoren.com