多尺度模型的定義很廣泛，只要在理論模型中包含多個尺度，並建立了各個尺度之間聯通的橋梁的模型都可以叫多尺度模型。在多尺度模型的力學實踐中，最常見的方法是連結原子模擬尺度（atomistic scale）和連續體模擬尺度（continuum scale）。本文將介紹原子模擬和連續體模擬中的常用方法，這些模型背後的驅動方程（governing equation）。並介紹連接兩個尺度的關鍵，即運動學（kinematics）和均一化（homologation）。
連續體模擬
在連續體模擬中，最常用的方法是有限元分析（finite element method, FEM）。有限元分析中的驅動方程是本構方程（constitutive equation），即描繪在外部外部應變作用下，材料如何響應的方程。本構方程的核心形式是應變能密度方程（strain energy density，SED），即應變能密度對於應變的方程。在非線性力學理論中，SED多表示為拉格朗日應變（Lagrangian strain），或其三個不變量（1st, 2ndand3thinvariance）的一個方程。SED方程對拉格朗日應變求一階導數，就得到了第二PK應力（Second Piola-Kirchhoff stress），根據第二PK應力與柯西應力（Cauchy stress）之間的特定關係，進而得到了柯西應力。SED方程對拉格朗日應變求二階導數，就得到了彈性常數張量（elastic constant tensor），即應力與應變之間的關係張量。（以上的內容是連續介質力學和非線性力學的一些基本內容，本文不做詳細介紹。）
在多尺度模型中，小尺度的計算一般有兩種方式為大尺度連續體模擬提供能量形式：第一種方式是本構方程由小尺度的計算得到，即通過小尺度的計算得到的數據來擬合出大尺度計算的本構關係（這種方法多見於順序多尺度模型）。第二種方式是大尺度連續體計算的SED由小尺度計算得到，即大尺度為小尺度提供一種變形的邊界條件，小尺度的模型據此產生變形，返回給大尺度模型對應的SED（這種方法多見於共時多尺度模型中）。關於順序多尺度和共時多尺度的區別，請詳見本專欄的第一篇文章。
分子模擬
對於分子模擬尺度上模擬，常見的方法是分子動力學（molecular dynamic, MD）和分子靜力學（molecular statics）。分子動力學模擬中的原子遵循牛頓定律來運動，即計算的每一步中，每個原子根據周圍的環境給自己的作用合力，來計算一個加速度的大小和方向，進而根據上一個時間步末尾的位置和速度計算本時間步結束時原子的位置和速度。分子靜力學模擬中的原子遵循能量最小化原則（energy minimization），即每個原子都找到一個特定的位置，使得系統的總能量最低。無論是計算周圍環境原子對某個原子的作用力，還是計算系統的總能量，我們都需要一個方程來描繪原子之間的相互作用。這個方程被成為勢能方程（interatomic potential）來表示原子之間的相互作用，在高分子模擬中，這個是能方程有叫力場（force field）。這個勢能方程（或力場）如同FEM中的本構方程一樣，是分子模擬中的驅動方程。接下來，我們就詳細的介紹一下勢能方程。
分子模擬中的勢能方程
理論上，一個原子可以與其環境中其他所有原子都存在相互作用。但為了計算的效率，我們只考慮一定範圍內的相互作用，而忽略這個範圍之外的相互作用，這個範圍的半徑叫做截斷半徑（cutoff radius）。同樣地，在階段半徑之內，一個原子也會與所有其他原子進行相互作用。最簡單的勢能方程只考慮兩個原子之間的雙體相互作用，而忽略三體、四體，甚至更高體之間的作用，這樣的模型叫做雙體勢能模型（pair potential）。將截斷半徑之內的所有雙體作用勢能加起來，除以二來消除重複計算，便得到了這個系統內的總能量。
最常見的雙體勢能是Lennard-Jones potential （LJ），能量形式如下
其中，r代表兩個原子之間的相互作用，σ和ε是材料參數。當r=2^(1/6) σ時，LJ勢能取得最小值ϕ_min=-ε。上公式中提供的LJ 勢能為6-12形式（指數部分的冪次為6和12），為了擬合不同材料，後來的研究者還發展出了一些其他的形式。
此外，應用範圍較廣的雙體勢能時Morse potential，能量形式如下
同樣地，σ和ε是材料參數。當r=r_e時，Morse勢能取得最小值ϕ_min=-ε。
圖1（a）顯示LJ勢能和Morse勢能的曲線。當兩個原子靠的過近時，原子之間的斥力會將兩個原子排斥開；當兩個原子裡的過遠時，原子之間的引力會將兩個原子拉回來；恰到好處的位置是能量最低的位置，即平衡位置；當兩個原子之間的距離足夠遠，勢能趨向於0，說明兩個原子之間的相互作用微乎其微，可以忽略不計了。
圖1，（a）LJ勢能和Morse勢能的圖像。（b）John Edward Lennard-Jones爵士，劍橋大學理論化學教授（c）Philip Morse，MIT物理學教授。
需要特別注意的一點是，LJ勢能和Morse勢能幾乎不適用於大多數固體晶體，只可以用於描繪稀有氣體原子之間的相互作用。為了描繪固體晶體之間的相互作用，研究者在二人研究的基礎上提出了更為複雜且實用的模型。例如描繪金屬晶體之間相互作用的embedded atom method（EAM）勢能，描繪碳族晶體相互作用的三體勢能（three-body potential）等。
EAM勢能的基本思想是，想像將一個原子從周圍的環境中扣除出去，這一過程對系統能量的變化。那麼同樣地，將這個原子鑲嵌迴環境之中，這一能量變化就是系統能量的增量。由此思想得到EAM勢能的方程形式，在根據實驗數據或者第一性原理的計算結果擬合這條曲線得到能量參數（這一擬合過程本身就是順序多尺度模型的思想）。
碳族晶體的原子可以排列成鑽石結構（diamond structure），如金剛石、單晶矽等。原子之間呈109°28』的夾角。因此，需要三體勢能來控制這個角度時使得能量最小。最常見的三體勢能為Stillinger-Weber potential（SW），其能量形式與二體勢能相似，只是加入了三體能量形式。同樣需要擬合實驗數據或第一性原理的數據來得到材料參數。
高分子材料分子動力學模擬中的力場
高分子材料分子動力學模擬之中，勢能方程的能量形式更為複雜，這種勢能方程被稱為力場。力場中的能量形式包括兩類。一類是共價鍵作用（covalent interaction），包括雙體作用，即分子鏈的拉伸；三體作用，即分子鏈的彎曲；四體作用，即分子鏈的扭轉；第二類是長距離相互作用（long-range interaction或non-covalent interaction），包括範德華力相互作用（van der Waals interaction）和庫倫力相互作用（Coulomb interaction）。系統的總能量就是這些相互作用勢能的綜合。圖2顯示了力場中存在的這些相互作用。
根據精度和實用性，學界也存在這不同的力場模型。總結下來，力場的發展大概分為以下三個方向：（1）第一個方向，力場追求普適性而犧牲對特定材料和問題的精確性。例如 Dreiding FF就屬於這個類別，其共價鍵相互作用的能量形式都為簡單的二次方程；（2）第二個方向，力場追求對某種特定材料和問題預測的精確性，但犧牲了普適性。例如，適用於生物力學的AMBER FF，OPLS FF都屬於這個類別；（3）第三個方向，在追求高精度的同時，也追求在一定範圍之內的普適性。為了達到這個目的，這類力場往往選取複雜的能量形式，同時用第一性原理所得到的數據來擬合出材料參數。有些甚至還會加入不同種共價鍵作用耦合的高階項。由於能量形式的複雜，這類力場的計算效率會相對較低。這類力場包括COMPASS FF，和PCFF等。
圖2（a）bond stretching（b）bond bending（c）dihedral interaction（d）improper interaction（e）van der Waals interaction（f）Coulomb interaction.
溝通兩種尺度的橋梁
溝通兩種尺度的橋梁是運動學（kinematics）和均一化（homologation）。運動學決定了微觀尺度的模型如何根據宏觀尺度來變形，均一化決定了宏觀尺度如何使用微觀尺度計算反饋而來的信息。運動學和均一化在不同的多尺度模型中有不同的表現形式，往往需要做一些合理的假設來完成這一步驟。在做多尺度研究時，研究者需要非常注意運動學和均一化的過程，對做出的假設也需特別注意，否則，所謂的多尺度模型將只是華而不實的臆想而已。
柯西—波爾近似（Cauchy—Born rule）是針對晶體材料運動學的一種常見方法。在該運動學近似中，微觀（小尺度）晶體材料的晶格根據宏觀（大尺度）的變形梯度（deformation gradient）來變形。並根據變形後的原子位置，結合一個選定的勢能方程，計算出SED返還給宏觀尺度的模型。這裡只提供一個關於柯西—波爾近似的簡單描述，將來筆者會專門出一篇文章詳細的介紹柯西—波爾近似。
圖3，柯西—波爾近似（Cauchy—Born rule）
RVE（Representative Volume Element）是一種常見的均一化形式，如圖4所示。原始材料為各向異性材料（heterogeneous material），我們可以通過選取足以代表該材料局部特徵的RVE為基本單元，來實現材料在大尺度下的均一化，進而宏觀上把它看成等效的各向同性材料（equivalent homogeneous material）。這其實是一種疊加原理（superposition），即「宏觀各向異性材料=微觀RVE+宏觀各項同性材料」。當然，這一均一化過程必然會丟失掉一些信息，而研究者需要巧妙地選取RVE，以保證重要的信息不至於丟失。
圖4，基於RVE的均一化方法。
小結：在多尺度模型中，在宏觀和微觀尺度需要選取不同的模型，運用不同的計算方法，例如宏觀尺度的FEM和微觀尺度的MD，MS等。而使兩種尺度的不同模型和信息可以相互交流的關鍵，是運動學和均一化。在不同尺度上選取合理的模型，在運動學和均一化過程中做合理的假設，是保證多尺度模型有效性的關鍵。
本專欄的目的
本專欄旨在向廣大力學研究者介紹多尺度模型研究的歷史和進展。文章類型包括（不限於）以下幾種：
1） 介紹多尺度模型的經典書籍和論文
2） 介紹多尺度模擬的開源工具
3） 追蹤多尺度模擬和計算論文的最新熱點
4） 多尺度模型領域大牛的學術綜述
訂閱費：198元/年（118.8元/半年）
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