流體力學野史

  某一天吃罷午飯，與艾倫和艾達兩位同事在濱江步道小散幾步。他們談起自己見到的幾位港星和日本星，問我是否認識，我只能呵呵了。除了各種星，我熟悉的名人也不是那些有錢的人，王石開什麼公司，許家印最近在幹啥，馬雲雙11賺了多少，這些問題我也不感冒。也可能正因為如此，窮且益艱往往是本人的自畫像。。。

  有一次在辦公室麥克Z突然說我很會講故事，這句話怎麼理解都可以。反面的意思是說我迂腐，喜歡忽悠。也可以正面理解成說話有條理，某些事情點破不說破。

  提到了名人，也提到了故事。那麼我倒是很想講一串名人的故事，這些我熟悉的名人穿插了兩三個世紀，給人類建立了理論流體力學和應用流體力學大廈。幾個世紀的故事，瑕疵是難免的了，本篇取名野史就是希望各位正史愛好者們見諒。

1：五帝本紀

  我的流體力學啟蒙始於大學化工原理的王國勝老師，書中化工管路流動損失計算用到伯努利方程。

  伯努利這位老大哥在日常實驗中發現管路裡面速度大了相應的壓強就會降低，善於記筆記的他在1738年出版水動力學書本時正式提出了流體速度與壓強呈現反比的關係。遺憾的是受限於自己數學語言不是很強悍，沒能給出具體公式。就寫信給附近的數學小王子歐拉助攻一下，在1752年給出了明確的數學公式。

  伯努利方程闡明了流體靜壓（勢能）與速度的平方（動能）可以相互轉換，在光滑管路內兩者的總和處處相等。工程中管路流動、空中的飛機飛行都離不開伯努利公式。前年老家修自來水，我提出從山頂直接引農夫山泉到家，但是老大哥們感覺中間加一個開口的水塔會更加刺激，其實這樣會中途損失水的勢能導致自來水流動慢。當時我想甩一個伯努利方程給他們看，可惜他們都不認識這個人，所以最後自來水流速不夠，鄉親們日常生活中也就只能忍受特別慢的農夫山泉了。 

圖1：伯努利方程

  數學小王子可能覺得伯努利方程只用到了初等數學,逼格不高。於是施展乾坤大挪移把伯努利方程從初等數學一下子拉到微積分層面。升級成伯努利方程2.0版本：歐拉公式。。。這個公式講的是動量守恆和質量守恆兩個事情，歐拉巧妙的把守恆概念植入到流體力學之中，後世流體力學研究無論時空如何變化，守恆終生相伴。。。

圖2：歐拉公式

  一七八幾年，兩位老夥計攜手相繼離開地球了，來了一個數學界的潘多拉：柯西。看著伯努利一維初等方程，到升級版的三維微積分歐拉公式還不夠過癮，本著欲練此功必先xx的態度，發布了九維張量方程：柯西動量定理。。。。

  九維張量是個啥水平？你學了初中數學就可以理解一維伯努利方程，上完同濟版高等數學也能對三維歐拉公式有點感覺，但是通透的理解九維柯西張量方程估計得博士水平了，而且是頭髮沒剩幾根的那種。當然柯西本人也掉的差不多了。。。。

圖3：柯西動量定理

  柯西這個潘多拉帶來了九維張量，可以分解為歐拉方程中三維壓力和其餘六維剪切應力。這個剪切應力就好像林家的闢邪劍法，很難破解。後來納維和斯託克斯兩位數學家發現這個剪切應力跟流體擴散現象有一腿，因此兩位一起集成了兩個克服闢邪劍法的絕招：粘性和散度。通過粘度和速度散度的乘積就可以得到剪切應力。

  流體粘性早在100多年前就被牛頓基於實驗驗證，但是歐拉方程局限於三維空間無法體現粘性，因此歐拉方程也稱為無粘流體方程。納維和斯託克斯首次將粘性植入到流體方程中，從此流體力學方程終於包含了粘性的本性。

  納維斯託克斯方程偏微分屬性太強，兩位老前輩創作了一門絕世武功，這門武功的特點是納維和斯託克斯都不知道如何破解自己的武功。他倆活著的時候也沒看到有人能夠給出解析解，到200年後的今天也還是沒有。2000年美國克雷數學研究所將該方程列為七大千禧年大獎難題，誰能給出解析解便獎勵一美金。

圖4：納維斯託克斯方程

  有了絕世武功，就有人想破解這裡面的秘密。由此就演變成了兩派，熟悉金先生《笑傲江湖》的讀者可以理解成華山的氣宗和劍宗。華山氣宗覺得劍法要先練氣，然後將自己的氣匯聚到一些特定招式的劍法中，就能練成君子劍。劍宗則推薦不要拘泥於劍法招式，要先看透劍法的本質然後融會貫通。令狐衝前期就跟著嶽不群練氣宗的華山劍法，後期偶然學了劍宗傳人風清揚的獨孤九劍。

  在求解納維斯託克斯方程中也分成了兩大求解陣營。第一陣營主要基於宏觀流體實驗數據歸納總結，然後建立一些模型來近似求解。第二陣營主要是通過對微觀世界天馬行空的想像來建立萬物共性規律，最終實現直接求解。

2:宏觀求解演義：實驗歸納

  1842年，誕生了一個叫雷諾的英國人。他觀察不同管徑不同速度流動現象，通過歸納總結髮現管內雷諾數一旦超過某一個臨界值後，水流就會出現紊亂現象。1883年雷諾發表文章描述這個實驗並提出層流和湍流概念。層流和湍流都是流體粘性的宏觀表現，雷諾將納維斯託克斯方程中的粘性投射到宏觀的具體流動過程。這樣就可以通過實驗歸納法來建立粘性的數學模型。

圖5：雷諾實驗

  雷諾首先提出了求解N-S方程的思路，將瞬態的速度分解成隨時間統計平均速度和脈動速度。這樣基於瞬態速度的N-S方程就轉變成描述時均速度規律的時均N-S方程，但是還有一個後娘養的脈動速度甩不掉：九維張量雷諾應力。

圖6：RANS模型

  脈動速度在流動中最直觀的表現就是漩渦，因此雷諾應力簡單理解就是漩渦對流動的反向作用力。1877年，和雷諾同一年出生的布西內斯克假設漩渦也具有粘性特質，並且假設九維雷諾應力等於漩渦粘性乘以流體的變形量。這樣求解九維的雷諾應力就被化解成求解一維虛擬的渦粘係數。如此看來，布西內斯克在武俠世界中練的是化功大法。

圖7：渦粘模型

  布西內斯克正愁著自己提出的虛擬貨幣變現問題，一向務實的德國土財主普朗特帶著混合尺度模型直接將他的虛擬貨幣完全套現。至此雷諾應力可以求解，基於雷諾平均的納維斯託克斯方程（RANS）也終於有了適合工程應用的近似解。

  但是大家在破解RANS方程實踐中發現破解邊界流動異常耗費精力。普朗特又拿出可以拍星星的華為P30手機拍攝了很多流體在壁面附近的流動現象，在1904年提出流體在固體壁面附近的分層現象以及簡化N-S方程：邊界層方程，使得N-S方程在壁面附近的求解明顯上升。

圖8：混合尺度假設和邊界層方程

3:微觀求解演義：天馬行空遐想

  介質在微觀世界中可以認為是由無數的顆粒組成，這些顆粒之間時刻在發生相互碰撞。這些碰撞過程不僅我們的眼睛解析度不足以觀察，即使能拍星星的華為P30手機也不能夠。既然看不到無數個微觀分子的碰撞過程，那就先借鑑一下牛頓大帝300多年前球體的碰撞理論。

  說到牛頓，他給我們的感覺就不是來自地球的物種。他首先在數學上描述了兩個光滑硬球碰撞，並提出了動量和動能守恆定理。

  基於牛頓的球體碰撞邏輯，如果把微觀世界中每一個分子的速度信息都掌握起來，那麼宏觀世界的粘度，壓力和其他的宏觀熱物理屬性就瞬間瞭然了，因為溫度和壓力就是特定動能的粒子束基於特定的碰撞頻率在邊界上進行碰撞的宏觀表現。這就像風清揚傳令狐衝獨孤九劍的時候讓他要儘量的忘卻以往特定招式，只需建立一個無招勝有招的感覺。 

圖9：動量/動能守恆定理

  無招勝有招，說著容易做起來難。基於以上分子動理論計算過程需要確認每個粒子在空間位置的速度和速度分量，並且計算時間步長也需要小於粒子的碰撞頻率（1E-12s）。如此龐大的計算量使得分子動力學無法處理大尺寸問題，因此需要統計數學方法來橋接微觀和宏觀世界。上帝首先派麥克斯韋來解決這個問題。。。

  麥克斯韋覺得研究分子在三維空間複雜分布是走進了死胡同，把關注點換成運動分子在不同速度分布的概率就好辦多了。於是他巧妙的把一個三維問題降低到一維問題，由此在1859年提出了麥克斯韋速度分布方程。可見牛人總是善於把複雜的問題簡單化，蠢人嘛，此處省略八個字。

圖10：麥克斯韋速度分布定理

  麥克斯韋隨後忙著研究電磁理論去了。上帝這次又派玻爾茲曼來進行收尾工作。玻爾茲曼總結了麥克斯韋分布方程，發現這個想法很值得好好搞搞，並首先意識到熱力學中熵增現象與統計學概率狀態的關係：系統內熵增過程對應微觀尺度內分子分布趨向最大概率分布現象。

  玻爾茲曼隨後提出的統計力學解釋並預測微觀原子和分子的行為如何決定宏觀物理屬性，例如粘性、熱導率和擴散係數等。值得一提的是，這些物理量之前研究中多是通過大量實驗數據歸納數學模型來近似計算，整個研究過程更是從雷諾一直跨越到普朗特。然而玻爾茲曼從微觀世界入手，一人基於統計力學徒手得到了宏觀物理量精確計算方法。所以說玻爾茲曼帶著人類穿越了微觀分子世界與宏觀流體世界，架起了一座連接微觀與宏觀的介觀尺度橋梁：玻爾茲曼方程。 

圖11：玻爾茲曼方程

  由於太多過於前衛的想法不被同時代的科學家承認，玻爾茲曼在1906年抑鬱自殺。是年，清朝正式廢除科舉制。。。

  以上兩種求解流體力學的方法隨著計算機的發展，分別發展成了有限體積法(FDM) 和格子玻爾茲曼方法（LBM）。後世關於渦粘模型又衍生了很多湍流模型，例如k-e,k-w,LES,VLES等等。基於FDM方法的求解器源於實驗歸納，對很多工程流動問題求解中非常高效。基於LBM方法的求解器源於微觀概率統計，近年在很多FDM無法求解的複雜問題領域獨領風騷。

 

  最後，僅以此文緬懷給我飯碗的流體力學前輩們。。。。。。