1.三角形的定義
由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.
三角形有三條邊，三個內角，三個頂點.組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角; 相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點。
2.三角形的表示
三角形ABC用符號表示為△ABC，三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三個頂點用大寫字母A,B,C來表示。
注意：
(1)三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；
(2)三角形是一個封閉的圖形；
(3)△ABC是三角形ABC的符號標記，單獨的△沒有意義。
3.三角形的分類
(1)按邊分類：
(2)按角分類
4.三角形的主要線段的定義
(1)三角形的中線（在中文中，中有中間的意思而在這裡就是邊上的中線）
三角形中，連結一個頂點和它對邊中點的線段。
表示法：AD是△ABC的BC上的中線.
BD＝DC=1/2 BC
注意：三角形的中線是線段；
三角形三條中線全在三角形的內部且交於三角形內部一點(註：這點叫重心：當我們用一條線穿過重心的時候，三角形不會亂晃)
中線把三角形分成兩個面積相等的三角形。
(2)三角形的角平分線
三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段
表示法：AD是△ABC的∠BAC的平分線.
∠1=∠2=∠BAC.
注意：三角形的角平分線是線段；
三角形三條角平分線全在三角形的內部且交於三角形內部一點；（註：這一點角三角形的內心。角平分線的性質：角平分線上的點到角的兩邊距離相等）
用量角器畫三角形的角平分線。
(3)三角形的高
從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．
表示法：AD是△ABC的BC上的高線
AD⊥BC於D
∠ADB=∠ADC=90°.
注意：三角形的高是線段；
銳角三角形三條高全在三角形的內部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在形外；(三角形三條高所在直線交於一點．這點叫垂心）
由於三角形有三條高線，所以求三角形的面積的時候就有三種（因為高底不一樣）
5.三角形的主要線段的表示法
三角形的角平分線的表示法：
如圖1，根據具體情況使用以下任意一種方式表示：
AD是DABC的角平分線；
AD平分 BAC，交BC於D；
如果AD是DABC的角平分線，那麼 BAD= DAC= BAC.
(圖1)
(2)三角形的中線表示法：
如圖1，根據具體情況使用以下任意一種方式表示：
AE是DABC的中線；
AE是DABC中BC邊上的中線；
如果AE是DABC的中線，那麼BE=EC=BC.
(3)三角線的高的表示法：
如圖2，根據具體情況，使用以下任意一種方式表示：
AM是DABC的高；
AM是DABC中BC邊上的高；
如果AM是DABC中BC邊上高，那麼AM^BC，垂足是E；
如果AM是DABC中BC邊上的高，那麼 AMB= AMC=90°.
在畫三角形的三條角平分線，三條中線，三條高時應注意：
(1)如圖3，三角形三條角平分線交於一點，交點都在三角形內部.
(2)如圖4，三角形的三條中線交點一點，交點都在三角形內部.
圖3 圖4
如圖5,6,7，三角形的三條高交於一點，銳角三角形的三條高的交點在三角形內部，鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部，直角三角形的三條高的交點在直角三角形的直角頂點上.
圖5 圖6 圖7
6.三角形的三邊關係
三角形的任意兩邊之和大於第三邊;任意兩邊之差小於第三邊.
注意：(1)三邊關係的依據是：兩點之間線段是短；
(2)圍成三角形的條件是任意兩邊之和大於第三邊．
7.三角形的角與角之間的關係
(1)三角形三個內角的和等於180°;
(2)三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和；
(3)三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角.
(4)直角三角形的兩個銳角互餘.
8.三角形的內角和定理
定理：三角形的內角和等於180°．
推論：直角三角形的兩個銳角互餘。
推理過程：
(1)作CM∥AB，則∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=180度，
即∠A+∠B+∠ACB=180度．
(2)作MN∥BC，則∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=180度
即∠BAC+∠B+∠C=180度．
注意：
(1)證明的思路很多，基本思想是組成平角．
(2)應用內角和定理可解決已知二個角求第三個角或已知三角關係求三個角．
9.三角形的外角的定義
三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.
注意：每個頂點處都有兩個外角，但這兩個外角是對頂角.（所以一般我們只研究一個）
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.
所以說一個三角形有六個外角，但我們每個一個頂點處
只選一個外角，這樣三角形的外角就只有三個了.
10.三角形外角的性質
(1)三角形的一個外角等於它不相鄰的兩個內角之和．
(2)三角形的一個角大於與它不相鄰的任何一個內角．
注意：(1)它不相鄰的內角不容忽視；
(1)作CM∥AB由於B、C、D共線
∴∠A=∠1，∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那麼∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
11.三角形的穩定性
三角形的三邊長確定，則三角形的形狀就唯一確定，這叫做三角形的穩定性。
注意：(1)三角形具有穩定性；
(2)四邊形沒有穩定性.
關於三角形會經常遇到的題型：
適當添加輔助線，尋找基本圖形。
(1)基本圖形一，如圖8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一條直線，則∠DAC=2∠B=2∠C或∠B=∠C=∠DAC.
圖8
(2)基本圖形二，如圖9，如果CO是∠AOB的角平分線，DE∥OB交OA,OC於D,E，那麼DOE是等腰三角形，DO=DE.當幾何問題的條件和結論中，或在推理過程中出現有角平分線，平行線，等腰三角形三個條件中的兩個時，就應找出這個基本圖形，並立即推證出第三個作為結論.即：角平分線+平行線等腰三角形.
圖9
(3)基本圖形三，如圖10，如果BD是 ABC的角平分線，M是AB上一點，MN^BD，且與BP,BC相交於P,N.那麼BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分線+垂線等腰三角形.
當幾何證題中出現角平分線和向角平分線所作垂線時，就應找出這個基本圖形，如等腰三角形不完整就應將基本圖形補完整，如圖11，圖12。
12.多邊形
在同一平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形。
(1)多邊形的對角線
連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
(2)正多邊形
各邊相等，各角都相等的多邊形叫做正多邊形
(3)多邊形的內角和為（n-2）*180度
多邊形的外角和為 360度
註：當求角度時應該想起 內角和 或者 外角和 或者 一個角的外角
13.密鋪
所謂「密鋪」，就是指任何一種圖形，如果能既無空隙又不重疊的鋪在平面上，這種鋪法就叫做「密鋪」。
用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱做平面圖形的鑲嵌。
可單獨密鋪的圖形
所有三角形與四邊形均可以單獨密鋪。
正多邊形只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以單獨密鋪。
對邊平行的六邊形可以單獨密鋪。
平面上有：完全相同的三角形、四邊形能密鋪（或三角形與四邊形組合）、正多邊形密鋪時,只有正三、四、六邊形可以密鋪。
(利用內角和的知識來計算，如：任意三角形內角180，則三個相同的任意三角形即可形成∠180，六個就可以密鋪；同理，四邊形內角360，四個就可以密鋪；正多邊形的頂角的整數倍等於180或360)
曲面像12個正五邊形和20個正六邊形可以鋪成個球(足球就是)。