本文介紹了拓撲數據分析（TDA）的基本原理，給出了案例展示，並指出該方法可以高效地進行可視化分析，有望為人工智慧黑箱提供可解釋性。近日，中科大潘建偉團隊在光量子處理器上成功運行了 TDA 方法，量子版本的 TDA 能夠實現對經典最優 TDA 算法的指數級加速。
機器學習和人工智慧都是「黑箱」技術——這是使用機器學習、人工智慧進行數據研究遭受的批評之一。雖然它們能自動提供有用的答案，但是卻不能給人類提供可解讀的輸出。因此，我們往往不能了解它們在做什麼，又是如何做到的。
Ayasdi 對這個問題提出了解決方法，其中利用了該公司的核心技術——拓撲數據分析（TDA）。該方法能夠提供強有力的、具有詳細解釋的輸出。然而，在這篇文章中，我們將把工作擴展到目前 TDA 的「比較」方法之外。當前的方法使用的拓撲網絡由數據集的數據點（行）構建。在這項新的工作中，Ayasdi 將特徵（列）也融合在網絡當中，據此展示了一個改進的、易解釋的結果。
首先介紹一下該解釋方法的工作原理。
假設我們有一個數據集，並且在其中已經辨別出了一些子組。這些子組可能是數據的一個組成部分（例如，某種疾病有許多不同的形式，比如炎症性腸病，或該數據含有一個倖存者/非倖存者的信息），或者說，這些子組是由行集合的某拓撲模型通過分割或熱點分析創建的。
如果選擇其中的兩個子組，Ayasdi 技術允許研究者根據他們的 Kolmogorov-Smirnov 分數（KS 分數）生成特徵列表。每個特徵有兩個分布——每個子組各有一個分布。KS 分數衡量兩個子組之間的差異。與本結構相關的也就是標準統計意義上的 P 值。
其解釋是，排列在第一位的變量是最能區分兩個子組的變量，而其餘的特徵是按其區分能力排列的。因此，解釋機制的輸出是一個有序的特徵表。通常，通過查看列表能獲得有用的解釋，即，是何因素導致了不同子組之間的區別。
該列表解釋起來往往很複雜。就像 Google 搜索後會得到一長串回復一樣，人們很可能會發現列表頂部分布不成比例，較低的響應又不為人們所關注。我們怎樣才能進一步提高這些「比較列表」的透明度和可理解性呢？
重要的是，要記住，Ayasdi 構造的拓撲模型假定給出了一個數據矩陣，以及數據集行的差異性或距離函數。通常，該距離函數是歐幾裡得距離，但是也可以選擇其他距離函數，例如相關距離、各種角度距離等。獲得數據矩陣 M 後，人們可以將它轉置為一個新的矩陣 M^T。其中，初始矩陣的列是轉置矩陣的行，反之亦然，如下圖所示。
在完成這個操作之後，可以為 M^T 矩陣的行集合（即原始矩陣 M 的列）構建拓撲模型。在集合中，人們可以選擇不同的距離函數。我們不會深入討論這一點，但總而言之，對任何數據矩陣行的通用可選項對於這個新矩陣也適用。
現在，假設我們有一個數據矩陣 M，以及在上述數據集中的一個子組 G。該子組可能通過先驗信息得來，也可能通過在 M 矩陣中行的拓撲模型分割得來。對於矩陣 M 中的每一列 c_i（即轉置矩陣 M^T 的每一行），我們現在可以計算子組 G 中每一行的均值，即 c_i 的平均值
我們將把它記為 fi,G。當這個數字包含 i 時，我們在 M^T 的行集合上獲得一個函數。因此，再次重申，M 矩陣中的行的一個子組將在 M^T 的行集合上產生一個函數。Ayasdi 拓撲模型的功能之一是，通過對應於節點的行，能夠利用數據矩陣的行函數的平均值對拓撲模型的節點進行著色。這對於了解數據屬性而言是一個非常有用的方法。尤其地，我們現在可以利用 M^T 矩陣的行集合中子組 G 的著色情況，查看該組的特徵。
請看下例。
荷蘭癌症研究所（NKI）構建了一個數據集，其中包括來自 272 名乳腺癌患者採樣的微陣列分析。本案例中的微陣列分析提供了為研究篩選的一組基因中每個基因的 mRNA 表達水平。從這些基因中，我們選擇了 1500 個表達水平最高的基因。我們得到一個 272 x 1500 的矩陣，其中 1500 列對應於數據集中具有最大方差的 1500 個基因，272 行對應於樣本總量。對於這個數據集，數據矩陣中行集合的拓撲分析已經在 [1] 和 [2] 中進行了。
我們的拓撲模型展示如下。
上圖表明，拓撲模型包括一個很長的「樹幹」部分，然後分裂成兩個「小枝」。在數據集中，存在一個名為 eventdeath 的二進位變量。如果患者在研究期間存活，則 eventdeath = 0；如果患者死亡則 eventdeath = 1。令人感興趣的是，患者存活情況與圖的結構相對應。一種方法是通過變量 eventdeath 的平均值進行著色。其結果如下所示。
我們可以看到，上面的「小枝」呈深藍色。這表明 eventdeath 變量值低，實際上其值為零——這意味著每個患者都存活了下來。然而，下面「小枝」的存活率差得多，尖端節點幾乎完全由無法存活的患者組成。我們希望理解這種現象，看看數據中的哪些特徵與「小枝」的產生有關，從而了解變量 eventdeath 的迥異行為。為此，我們可以從拓撲模型中選擇多種不同的子組。
在上圖中，A 組為高生存率組，B 組為低生存率組，C 組可以表徵為與其他兩組差異最大的組（根據組間距離進行確定）。如上所述，基於這三個組，我們可以在 1500 個特徵上創建 3 個函數。
如果我們建立一組特徵的拓撲模型，我們可以用每個函數的平均值來給它著色。下面的三張圖片展示了其結果。
在比較 A 組和 B 組著色情況時，我們發現其差異十分顯著。A 組著色後，某個區域呈亮紅色，而 B 組著色後相應區域呈亮藍色。結果可見下圖。左側的模型是 A 組著色，右側模型是 B 組著色。
組 I 和組 II 的顏色明顯不同。組 I 在 A 組中主要為紅色，而在 B 組中主要為藍色（小固相區域除外）。組 II 恰好相反，在 A 組中為藍色，在 B 組中為紅色。這些組可能與高雌激素受體表達有關，其中在組 I 中呈正相關，在組 II 中呈負相關。眾所周知，雌激素受體表達是乳腺癌存活與否的「強信號」。如果我們比較所有三組（如下圖）：
我們也可以看到，C 組似乎是 B 組的一個「較弱」形式，其中右上角的藍色區域面積較小，下面區域的紅色較弱。在左側的「島」上，C 組也顯示出比 A 、B 組更強的紅色著色。理解哪些基因參與了 A、B、C 三組右上角的強紅色塊將是非常有意思的。此外，研究哪些基因參與了左側「島」的表達也很有趣。了解這些基因組需要使用各種基於網絡的生物學通路分析的工具。
總而言之，我們已經展示了如何對數據集中的特徵空間使用拓撲建模，而不是利用行集合直接從數據集尋找洞察。具有超過 4 個特徵的數據集不能直接使用標準圖形技術直觀地理解，但是具有成百上千個特徵的數據集通過這種方式理解起來卻很容易。該方法能直接識別行為一致的特徵組，這通常在基因組和更普遍的生物學數據的分析中存在。
參考文獻
[1] M. Nicolau, A. Levine, and G. Carlsson, Topology based data analysis identifies a subgroup of breast cancers with a unique mutational profile and excellent survival, Proc. Natl. Acad. Sci., vol. 108, no. 17, 7265-7270, (2011).
[2] P. Lum, G. Singh, A. Lehman, T. Ishkhanov, M. Vejdemo-Johansson, M. Alagappan, and G. Carlsson, Extracting insights from the shape of complex data using topology, Scientific Reports 3, Article number 1236, (2013)