管理心理學之統計(14)方差分析的定義和邏輯

2020-12-04 金碧輝煌姚小六

1. 什麼是方差分析

方差分析(ANOVA)是一個假設檢驗的過程，用於評估兩個或多個（總體）處理的平均數的差異，它與t檢驗的差異在於方差分析可以被用來比較兩個或更多的處理，為設計實驗與解釋結果提供了更大的靈活性。

在方差分析中，自變量或準自變量被稱為因素，組成一個因素的各個條件或是數值被稱為這個因素的水平。方差分析既可以用在獨立測量中，也可以用在重複測量研究中。合併不同因素，以及在同一研究內混合不同設計的能力，為研究者提供了發展研究的靈活性。

我們知道每次做一個假設檢驗時都需要選定一個α水平來確定第一類誤差的可能性。做的檢驗越多，遇到第一類誤差的可能性就越大。因此我們需要區分檢驗α水平和試驗α水平（試驗α水平是指試驗中所有的單獨檢驗的第一類誤差的總概率）。當樣本數超過三個以後，我們不能用重複t檢驗的方法來逐一兩兩比較平均數差異，這樣會導致較大的試驗α水平。但是對於方差分析來說，無論有多少不同的平均數需要比較，都可以保證用一個檢驗，一個α水平來評估平均數的差異。

2. 方差分析的邏輯

方差分析的目的是測量變異性的數量（差異的大小）和解釋變異性的由來。首先需要合併所有單獨樣本的數據，從而確定整組數據的總的變異性。然後把總的變異性分成兩個部分，處理間方差和處理內方差來分析和解釋變異性。

2.1 處理間方差

以上圖為例，我們可以清楚的發現數據間較大的變異性是由處理條件間總的差異（溫度）引起的，例如20℃條件下的數據M=4趨向於高出10℃條件下的數據M=1。處理間方差測量的是處理條件間的差異。這種差異可以有兩個選擇性地解釋：

A． 偶然。差異不是由任何處理效應引起的，是一個樣本和另一個樣本間自然存在的差異。偶然差異可能是由個體差異或者試驗誤差導致的。

B． 處理效應。處理間的差異比只是偶然引起的差異要大得多，是由處理效應引起的。

2.2 處理內方差

除了處理條件的總的差異，每個樣本內部還存在變異性，例如20℃條件下所有的數據並不都是相等的，樣本內部的數據依然存在變異性。處理內方差測量的是每個處理條件內的變異性，即測量有多少差異只是由偶然引起的是合理的。也就是說當H0正確是，差異是多大。

分析這兩個部分內部的總的變異性是方差分析的核心。

2.3 F分數

當樣本數超過三個以後，樣本平均數差異的概念很難定義，而且不易計算。解決這個問題的方法是用方差來定義和測量樣本平均數之間的差異。在方差基礎上建立的統計量又稱為F分數。

無論是t分數還是F分數，分數的分子測量了樣本數據的真正差異，分母測量了不存在處理效應時的差異。較大的t分數或者F分數證明了樣本平均數差異比只是偶然引起的差異要大。當F值接近1.00時，表示處理間差異與偶然差異大致相等。當處理效應存在時，F值應該顯著的大於1.00。由於F分數是由兩個方差計算而來，所以F值通常會是正值，當H0為真時，F分布應該集中在1.00左右。F分布的準確形狀決定於F分數中兩個方差的df。對於非常大的df值，F值將集中在1.00左右，對於小一些的df值，F分布會更分散。

在F值得計算中，k表示處理條件的個數，n表示某個處理中數據的個數，N表示數據的總個數,T表示一個特定處理的總和。G表示一個研究的總數據之和。

3. 假設檢驗的步驟：

步驟一：提出假設並選定α水平

步驟二：確定F分數的臨界值

A． 確定自由度

總自由度 df總=N-1

處理內自由度 df內=N-k

處理間自由度 df間=k-1

在F分布表中找到對應的臨界值。

步驟三：計算F分數

A. 分析並計算出SS間和SS內

總的平方和

處理內平方和

處理間平方和

B．計算出MS間和MS內

C. 計算F分數

步驟四：對於H0做出判定

參考書目：行為科學統計，現代心理與教育統計學

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