馬丁·加德納:數學世界的無冕之王

本文原載於《環球科學》2014年11月號，請勿轉載。

撰文 科爾姆 · 馬爾卡希（Colm Mulcahy，美國斯貝爾曼學院的數學教授）  

         達納 · 理查茲（Dana Richards，美國喬治·梅森大學的計算機科學教授）

翻譯 孟令磊

一個巧妙的數學謎題，就像一個高超的魔術，不僅能激發人們的興趣，同時還能揭示數學真理，並推動重要問題的研究。至少，在馬丁·加德納（Martin Gardner）看來，數學謎題就是有著這樣的魅力。馬丁·加德納這個名字，一直與《科學美國人》的傳奇專欄——「數學遊戲」（Mathematical Games）聯繫在一起，他曾為這一專欄撰稿達四分之一個世紀。他擁有獨特的數學魔法技能，每月一次地為讀者展示一個個重要而又奇妙的數學謎題，也正是因為這樣，他有著來自全球各地的大量擁躉。讀者中既有默默無聞的普通人，也有聲名顯赫的知名人士，他們將「數學遊戲」專欄比喻為導師，正是這個專欄，指引他們走上了專業數學或者相關領域的道路。

加德納為人謙遜。他既不追求各種獎項，也不熱衷於名譽。即便如此，他仍寫下了 100 多本書，書中涉及的內容廣度令人驚訝，這些內容在科學與人文之間搭建起了一座橋梁。這些書引起了許多公眾人物的關注和尊敬。獲得過普立茲獎的認知科學家候世達（Douglas Hofstadter）稱讚他為「本世紀美國最偉大的智者之一」。古生物學家史蒂芬·傑伊·古爾德（Stephen Jay Gould）對他的評論是：「獨樹一幟的、最明亮的燈塔，他堅守著理性和科學，與圍繞我們的神秘主義和反智主義對陣。」語言學家諾姆·喬姆斯基（Noam Chomsky）則這樣描述加德納對當代知識文化的貢獻：「對於重要的高深問題，無論是探討的範圍、深度還是對問題的理解，他都是獨一無二的」。

儘管在 20 世紀 80 年代初期，加德納就不再為專欄定期撰稿，但他的卓越影響力一直延續到了今天。加德納於 2010 年去世，生前他完成了很多本書，還寫下了多篇綜述文章，到現在，他的粉絲群跨越了幾代人。讀者們仍然會舉行活動來慶祝他的生日，閱讀「數學遊戲」專欄做出一些新發現。對這一具有開創性意義的專欄來說，要表達我們的尊重與紀念，可能最好的方式就是再次閱讀專欄。我們對加德納的工作報以敬意，也許會讓新一代人去思考，為什麼到了 2014 年，趣味數學仍然重要。

在 1956 年 12 月份的「數學遊戲」專欄中，加德納展示了一種名為「六角折變體」的結構，這是用一張塗有不同顏色的紙條，摺疊而成的一個平面六角結構。六角折變體可以多次扭轉和鋪平，從而顯示 6 種不同圖案。

從邏輯到六角折變體

加德納在數學圈非常有名望，但從傳統意義上來說，他並不是一名數學家。20 世紀 30 年代中期在芝加哥大學求學時，他主修的是哲學，這一專業使得他對邏輯很擅長，但缺乏數學訓練（儘管他曾旁聽了一門叫做「初等數學分析」的課程）。然而，他十分精通數學趣題。他的父親是一位地理學家，向他介紹了在上個世紀之交非常有名的兩位趣味數學題創造者——山姆· 勞埃德（Sam Loyd）和亨利·厄內斯特·杜登尼（Henry Ernest Dudeney）。15 歲開始，加德納定期在一些魔術雜誌上發表文章，在文章中他經常會探討魔術和拓撲學之間相通的內容。拓撲學是數學的一個分支，主要研究圖形在不被撕裂的條件下變化（如被延展、扭曲或者變形）時，其不變的性質。例如，一個有手柄的咖啡杯和一個甜甜圈的拓撲結構是相同的，因為它們均為具有一個洞的光滑曲面。

1948 年，加德納搬到紐約市，在那裡他和葉史瓦大學的數學教授耶谷提耳·金斯伯格（Jekuthiel Ginsburg）成為了朋友。金斯伯格還是《數學手稿》（Scripta Mathematica）的編輯，這是一本旨在向普通讀者傳播數學的雜誌，每季度出版一次。金斯伯格有這樣一個觀點：「並不是非得成為畫家才能欣賞美術作品，也並不是非得成為音樂家才能欣賞美妙的音樂。我們想要證明的是，一個人不必成為數學家，也能夠領略到數學的形式與形態之美，甚至是一些抽象的概念。」在一個適當的時機，加德納為雜誌撰寫了一系列數學邏輯方面的文章，看起來這似乎是受到了金斯伯格觀念的影響。

1952 年，加德納在《科學美國人》上發表了他的第一篇文章，探討的是可以解決基本邏輯問題的機器。雜誌編輯丹尼斯·弗拉納根（Dennis Flanagan），以及在很多年前就已接管雜誌的出版人傑勒德·皮爾（Gerard Piel），熱切地希望能夠刊登更多的數學相關的文章。1956 年，弗拉納根和皮爾的同事詹姆斯·紐曼（James Newman）創作出版了《數學的世界》（The World of Mathematics）一書，該書十分暢銷，這使得弗拉納根和皮爾對這類文章內容更加感興趣。同一年，加德納寄給他們一篇關於六角折變體（hexaflexagon）的文章。六角折變體是一種摺疊的紙質結構，這種結構具有獨特的性質，魔術家和拓撲學家都已經對其展開了研究。這篇文章很容易就被錄用了，正式刊登於當年 12 月份的雜誌上。事實上，在這期雜誌正式上市銷售之前，加德納就收到了邀請：每月為雜誌撰寫一篇同樣風格的專欄文章。

加德納最初撰寫的文章都是非常初級的內容，但隨著他和讀者的理解水平的提高，探討的數學內容逐減變得深奧。在某種意義上說，加德納建立起了自己的某種社交網絡，當然，通過這一社交網絡傳播內容，要依靠美國郵政，因此速度很慢。加德納將自己獲得的信息與大家共享。這些人原本處於隔離狀態，加德納的行動激勵他們有了更多的研究和發現。從大學時代開始，他就有保存文檔的習慣，因此保存了大量的、精心整理過的資料。通過自己建立的社交網絡，加德納將這些資料內容共享給大家，這讓他的朋友圈逐漸擴大，同時朋友圈中的人也希望將自己的想法共享。任何給加德納寫信的人，幾乎都得到了他詳細的回覆，他簡直就像一個搜尋引擎。在他的通信者和合作者中，有數學家約翰·霍頓·康韋（John Horton Conway）和佩爾西·戴康尼斯（Persi Diaconis），藝術家 M· C · 埃舍爾（M. C. Escher）和薩爾瓦多·達利（Salvador Dali），魔術師及懷疑論者詹姆斯·蘭迪（James Randi），以及作家艾薩克·阿西莫夫（Isaac Asimov）。

加德納的社交群體是多元化的，這體現了加德納兼收並蓄的興趣愛好——文學、魔術、理性、物理、科幻和哲學，都是他感興趣的內容。他是專業化時代的博學者。在每一篇文章中，他都好像能用很好的人文故事，將文章主題內容講述出來。文章內容會令很多讀者聯想起一些之前可能已被忽略的想法。比如在一篇主題為「Nothing」的文章中，加德納討論的內容遠遠超出了數學概念上的零和空集（沒有任何元素的集合），並且從歷史、文學和哲學的角度，探討了「Nothing」這一概念。加德納是一個非常會講故事的人，因此讀者們爭相來閱讀他的專欄。他很少為一篇文章只準備一個故事結局，相反，他會耐心地收集足夠的材料，從而編織出一個內容豐富的故事，故事中會包含對問題的相關見解以及對未來研究的探究。他常常要花  20 天的時間來研究問題並寫作。對於向公眾傳播數學問題來說，專欄作家比專家更具優勢，因此他認為自己需要更加努力地學習。

加德納善於將數學問題轉化為易讀、有趣的內容，從而推動讀者進一步地探究這些問題。以只有高中文化的家庭主婦瑪喬麗·賴斯（Marjorie Rice）為例，她利用在加德納專欄學到的知識，發現了幾種新型的完全嵌合五邊形（將這些五邊形像鋪瓷磚一樣拼合在一起，不會有任何缺口）。她寫信告訴了加德納，加德納再將這一發現分享給數學家多裡斯·沙特施奈德（Doris Schattschneider）來檢驗其正確性。加德納的專欄催生了一大批新發現。1993 年，加德納總結了 5 個讀者反映最熱烈的主題：索羅門· W · 戈洛姆（Solomon W. Golomb）的「多格骨牌」（polyomino），康韋的「生命遊戲」（Game of Life），牛津大學羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）的非周期性平面鋪磚法、RSA 加密和紐科姆悖論（Newcomb's paradox，見「紐科姆悖論：誰想成為百萬富翁？」）

多格骨牌與生命遊戲

這些謎題能夠如此受歡迎，或許是因為，讀者利用日常用品如棋盤、火柴棍、撲克牌或者廢紙，在家中很容易就可以操作。1957 年 5 月，加德納描述的戈洛姆的工作，就是這樣一個實例。那時，戈洛姆剛剛研究了多格骨牌的性質。將多個全等正方形的邊互相連接起來，構成的圖形就是多格骨牌，二格骨牌有兩個正方形，三格骨牌有 3 個，四格骨牌有 4 個，以此類推。在各種鋪磚問題、邏輯問題和流行遊戲（如俄羅斯方塊之類的視頻遊戲）中，都會出現多格骨牌。讀者們對這些形狀都已熟知，但正如加德納所說的那樣，戈洛姆將此問題向前推進了一步，證明了「如何排列才能構成多格骨牌圖案」的一些定理。

在康韋發明的「生命遊戲」中，出現的一些圖案就是多格骨牌，該主題刊登在 1970 年 10 月份的《科學美國人》上。這個遊戲由一個包含若干方格子的二維矩形組成，每個格子內有一個細胞，細胞有「活」或「死」兩種狀態，而它們究竟是存活（可以增殖）還是死亡，要依照某種規則來決定。例如，周圍有 2～3 個存活細胞時，這個細胞可以存活；周圍沒有細胞，或者有 1 個、4 個以及更多細胞時，這個細胞就會死亡。遊戲在某種初始狀態開始，然後這些細胞依照規則進化。「細胞自動機」（在一定規則下運轉的細胞）可以在非常精細的層面上模擬複雜系統，而「生命遊戲」就屬於這一領域。康韋認為，他自己親手設計的這個遊戲是一臺很小的雙態自動機，在模擬複雜的進化性行為上，有著不可言喻的潛力。

在專欄發表後，「生命遊戲」迅速引起了狂熱的追崇。加德納回憶當時的情形後說到，「全世界有計算機的數學家們都在編寫生命遊戲程序」。一些讀者很快就做出了很多驚人的發現。數學家很早就知道，利用很少幾個公理，就可以得到很多具有深遠意義的定理，在上世紀 70 年代初，研究「生命遊戲」的群體就已經親身體驗到這種神奇的魅力了。40 餘年後，「生命遊戲」仍在激發新發現：2010 年 5月，媒體報導了一種名為二階染色體（Gemini）的新型圖樣，這種圖樣能夠實現自我構建——在向一個傾斜方向移動的過程中，它可以自我複製並摧毀母體圖樣。而第一個可以克隆自身及規則的生命遊戲複製體，也於 2013 年 11 月問世。

彭羅斯瓷磚與公共密鑰

康韋還將「彭羅斯瓷磚」介紹給加德納，這是數學家兼物理學家彭羅斯研究的一種非周期性的平面鋪磚法。以此為內容寫成的那期專欄文章，再次引起了轟動。這種瓷磚的特點是，包含兩種不同形狀的瓷磚，由於和兩種玩具形狀相似，這兩種瓷磚分別被稱為「風箏」和「飛鏢」。如果每種瓷磚都可以無限量提供，通過不同的組合方式，這些瓷磚可以無空隙地覆蓋無窮大的地板，這些組合方式顯示了明顯的非周期性特性。傳統的瓷磚形狀——正方形、三角形、六邊形，可以以周期性的方式鋪滿地板。換句話說，鋪好的地磚上存在很多類似的點，站在這些點上，你腳下的瓷磚形成的圖樣是完全相同的。但當「風箏」和「飛鏢」組合時，或者其他兩種或更多種彭羅斯瓷磚組合時，按照一定規則排列的時候，就不會出現這種周期性的圖樣。彭羅斯瓷磚拼成的圖案十分優美，康韋繪製的一副瓷磚圖案的草圖，成為了《科學美國人》1977 年 1 月刊的封面。

「彭羅斯瓷磚」倍受追捧的主要原因是，可以生成「非周期性」的圖案：如果有無數的瓷磚，可以利用它們無空缺地鋪滿地板，而且原始構型絕無重複。加德納在1977年1月的專欄中介紹了彭羅斯鋪磚法，在文中兩種瓷磚被叫做「風箏」和「飛鏢」。為了保證非周期性，瓷磚必須按照一定的規則鋪設。加德納把上邊起始的構圖組合叫做「無窮的星圖」。

在此之後，研究彭羅斯瓷磚特性的群體取得了很多進展，比如發現了具有自相似性（self-similarity）的圖樣，這種圖樣在不同尺度上有著相似的結構，也能從分形角度來欣賞（分形也獲得了廣泛的關注，在很大程度是因為加德納在 1976 年 12 月發表的專欄文章）。彭羅斯瓷磚還導致了準晶體（一種有序、非周期的結構）的發現。彭羅斯瓷磚竟然能與這些內容聯繫到一起，沒有人會比加德納更高興，他評價到，「對於一個數學發現，可能最初看起來並沒有什麼實際價值，但最終卻證明，大自然中早就存在這些規律了。這些結果就是完美的實例」。

1977 年 8 月，加德納預見了另一個當代重要進展：「幾十年後」，電子郵件將會出現在個人通訊中。基於這一預測，加德納撰寫了一篇向公眾介紹 RSA 密碼的專欄文章。RSA 密碼是一種基於陷門函數（trapdoor function）的公共密鑰加密系統，陷門函數的特點是，向一個方向計算很容易，但逆向計算則非常困難。20 世紀 70 年代中期，這種系統並不是新事物，但計算機科學家羅恩· 李維斯特（Ron Rivest）、阿迪· 沙米爾 （Adi Shamir）和倫納德· 阿德爾曼（Leonard Adleman，RSA 就是以三位科學家名字的首字母命名的），利用大素數（prime number，僅能被 1 和自身整除的數）設計出了一種全新的陷門函數。對於兩個足夠大的素數乘積，要進行因子分解會非常困難，RSA 密碼的安全性就是依賴這種困難性。

通過學術期刊發表研究結果之前，李維斯特、沙米爾和阿德爾曼寫信給加德納，希望能將這一發現迅速告知更多讀者。加德納十分清楚新發現的意義，並且一反常態地很快完成了專欄文章。他在文中向讀者發出了一個挑戰，請大家試著去解碼一條信息，其中需要分解一個 129 位的整數，這在當時是一個不可能完成的任務。提出挑戰之前，加德納智慧地引用了詩人埃德加·愛倫·坡（Edgar Allan Poe）的話作為引言：「我們可以斷言，目前的人類智慧，不能創造出一個人類智慧不能解碼的密碼」。事實也的確如此，僅僅 17 年後，一個龐大的合作組，靠著 600 多名自願者和 1 600 臺計算機，最終完成了加德納的挑戰，揭示了編碼信息的內容：「神奇詞語是神經質的魚鷹。」RSA 挑戰持續了很多年，直到 2007 年才結束。

後加德納時代

1980 年，加德納決定結束專欄寫作，專注於其他的寫作計劃。《科學美國人》迅速找到了一位接任者：候世達。他完成了25篇專欄文章，取名「文字遊戲」（Metamagical Themas）——這是數學遊戲（Mathematical Games）的變形詞（Metamagical Themas 與 Mathematical Games 兩個單詞組成字母一樣，但順序不同——譯者注）。候世達的很多文章都是討論人工智慧，這是他的專業領域。這之後，A·K·德威德尼（A. K. Dewdney）接替了候世達，在7年時間裡這一專欄成為了「計算機娛樂」（Computer Recreations）。隨後的10年是伊安·斯圖爾特（Ian Stewart）的「數學娛樂」（Mathematical Recreations）專欄。再後來丹尼斯· 薩薩 （Dennis Shasha）開設了很長時間的「頭腦大冒險」（Puzzling Adventures）專欄，專欄內容基於計算和算法原理。斯圖爾特曾評論到，「我們確實在努力嘗試複製這一專欄的精神：以遊戲的形式將重要的數學思想呈現給讀者」。

過去20年裡，這一專欄的精神在加德納集會（Gathering 4 Gardner）上得到了延續。該會議每兩年舉辦一次，僅限受邀人士參加。數學家、魔術師和數學謎題愛好者聚集在一起，希望通過數學遊戲繼續分享各種內容。加德納本人參加了最初的兩屆會議。近些年，會議參加者的範圍逐漸擴大，既有一些老朋友，如戈洛姆、康韋、埃爾溫· 伯利坎普（Elwyn Berlekamp）、理察· 蓋伊（Richard Guy）和羅納德·格雷厄姆（Ronald Graham），也有冉冉升起的學術新星，如計算機科學家埃裡克·德邁納（Erik Demaine）和視頻專家韋·哈特（Vi Hart），還有一些非常年輕的血液——極具才華的十幾歲的年輕人，如尼爾·比克福德（Neil Bickford）、朱利安·漢斯（Julian Hunts）和伊桑·布朗（Ethan Brown）。2010年加德納去世之後，為表示對他的敬意，全球各地每年10月都會舉辦紀念派對，任何人都可以參加或舉辦這類活動。

儘管加德納已經離開，但時至今日，我們仍有很好的理由去從他的工作中吸取靈感，去支持趣味數學。關注益智遊戲和相關活動，經常會獲得重要發現，正如本篇文章介紹的那些內容。加德納的每一篇文章，幾乎都引發了愛好者和專業人士的熱烈討論。他的大量專欄文章現在都可以擴展成專業書籍，這些書籍甚至可以塞滿整個書架。此外，從數學的角度去考慮問題，對於培養思路的條理性和嚴密性是非常有價值的。加德納認為趣味數學不僅僅是一種智力遊戲，而是通往更廣闊數學成就的途徑。

1998 年，加德納在生命的最後階段，在《科學美國人》上刊登了一篇回顧性的文章，他思考到，「趣味數學和嚴肅數學之間的界限是很模糊的……40 年來，我一直在竭盡全力說服教育工作者，趣味數學應該納入正規的教學課程。在教學中應該定期介紹趣味數學，這種方式能引發學生對數學的興趣。但到目前為止，這方面的改革還沒有什麼進展」。

如今，網際網路上有著大量的數學相關的應用、教程和博客以及社交媒體，它們能以比加德納更快的速度，將那些志同道合的愛好者們聯繫起來。但這種速度可能已有了下降的趨勢：對於現今基於網絡的交流來說，也許很容易得到「有意思！」這樣的快速回應，但只有經過仔細思考，才能真正有所收穫，發現讓我們感到驚奇的東西。我們相信，加德納專欄成功的一部分原因，是他和他的讀者們，不厭其煩地去交流各種思考細節和經過深思熟慮得到的答案。在現在這樣一個缺乏耐心的時代，也許只有時間可以證明，新的智力遊戲的群體，能否傳承加德納的使命，激勵後來的人們得到新的見解和發現。

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來次自我測驗吧

趣味數學題分為許多大類，這些難題吸引了各類人才來求解。其中一些謎題是十分經典的，我們選取了其中一些介紹給大家。

一些謎題僅僅需要基本推理就能解出。以一道腦筋急轉彎為例：在一座建築的一層有 3 個開關，三層有 1 個燈泡，3 個開關中只有 1個 能控制這個燈泡。另外兩個開關沒和任何東西相連。你可以把這些開關置於任意一種狀態，然後去三樓確認一下燈泡狀態。在不離開三樓的情況下，你能判斷哪個開關在控制這個燈泡嗎？只有一次嘗試的機會。

算術密碼問題更難一些，能夠更好地檢驗益智遊戲玩家的能力。在這類問題中，每個字母對應一個單一的數字。例如下圖中的求和計算，你能算出每個字母對應的數字，從而使算式成立嗎？

可視化謎題有助於求解幾何問題。做一個底面為正方形、4 個側面為等邊三角形的實心金字塔，再做一個實心四面體，四面體的 4 個面與金字塔側面的三角面相同。將金字塔的一個三角面和四面體的一個三角面粘貼在一起。最終形成的多面體有多少面？結果並不是 7 個！

遊戲玩家們也像數學家一樣，有時必須接受一些難題挑戰。這些挑戰也許能夠反映普遍問題，也許要求嚴密的邏輯證明。以「連續等角多邊形」這類多邊形為例。這類多邊形的所有相鄰兩邊都成直角，邊長逐步增長：1、2、3、4，以此類推。最簡單的等角多邊形有 8 個邊，邊長分別為 1~8，如下圖所示。這是已知的連續等角多邊形中，唯一能夠鋪成平面的形狀。當然等角多邊形還有很多。你能證明它們的邊數一定總是 8 的倍數嗎？

在許多難題中都會出現西洋棋的規則，包括「無法攻擊的皇后群體」（unattacked queens）這一系列問題。試想一下，在一個 5×5 的棋盤上有 3 個白皇后和 5 個黑皇后，你能將它們合理排列，從而使這兩種顏色的皇后都不能攻擊對方嗎？如果排除對稱和旋轉情況，答案只有一種。

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紐科姆悖論：誰想成為百萬富翁？

馬丁·加德納在一份 1969 年的報紙上，讀到哲學家羅伯特·諾齊克（Robert Nozick）撰寫的文章，其中提到了一個名為「紐科姆悖論」（Newcomb's paradox）的著名問題。加德納將這一問題作為了 1973 年 7 月和 1974 年 3 月的專欄主題。這一由理論物理學家威廉姆·紐科姆（William Newcomb）創造的思想實驗，描繪了確定性和自由意志的神秘性，而且至今仍是哲學家激烈辯論的內容。

遊戲中有玩家和預言家。預言家包括超智能的外星人、巫師和無所不知的神靈，他們具有預測玩家行為的天賦。玩家感知不到預言家的預測內容。在玩家面前有兩個箱子：一個箱子中始終裝有 1 000 美元，記為 A 箱，另外一個箱子中可能裝有 1 000 000 美元，記為 B 箱。玩家可以選擇只帶走 B 箱，或者把兩個箱子都帶走。遊戲開始前，預言家會預測玩家的選擇。如果預言家認為玩家會只拿箱子 B，那麼這個箱子就含有 1 000 000 美元的獎金。如果預言家認為玩家會拿走兩個箱子，箱子 B 中就什麼都沒有。

悖論就這樣產生了，要贏得最多的獎金，有兩種相反的思考策略，但這兩種策略看起來都是合理的。第一種認為，不用考慮預言家的預測，拿走兩個箱子始終能獲得更多獎金。如果預言家預測玩家會拿走兩個箱子，玩家選擇兩個箱子會贏得 1 000 美元，只選擇 B 箱獲得 0 美元（見下表）。如果預言家預測玩家會只拿走B箱，玩家選擇兩個箱子就贏得 1 001 000 美元；只選B箱獎金少一點（1 000 000美元）。

另外一種觀點認為，最好的選擇是永遠只拿 B 箱。他們的理由是，玩家的選擇和預言家的預測不一致的情況，是應該忽略的，因為兩者不一致時說明預言家出錯了，但按定義所說，這些預言家是不可能犯錯的。選擇最後就變成了拿走兩個箱子得到 1 000 美元，而只拿 B 箱會得到 1 000 000 美元。

加德納的讀者們做出了大量的評論，詳細描述了各種各樣的結果，但在哪種策略更好的問題上，仍無結論。諾齊克在最初的報導中是這樣評論的，「對幾乎每個人來說，如何做出選擇都是完全清楚和明顯的。棘手之處在於，在這一問題上，人們幾乎會分為人數相等的兩方，每一方中都有大量的人認為，對方的選擇是愚蠢的。」

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