超過100億億的第一對親和數

2021-03-01 Liunix
親和數，是指當兩個正整數a,b，a除自身外的全部約數(或叫因數,能整除n的數稱為n的約數)之和等於b，b除自身外的全部約數之和等於a。畢達哥拉斯是已知最早發現親和數的人，他發現了220與284具有上面這種你中有我，我中有你的性質，因而給他起名叫親和數。目前人類已經發現了1200多萬對的親和數（幾年前我看到的數字還是600多萬對），而且有篇論文介紹了一種可以根據已知親和數中的一些模式或者規律來尋找新的親和數的算法，所以親和數的總數量才增長得這麼快。但是不論發現了多少親和數，只要你不按順序搜索親和數的話，都無法回答「超過多少多少的第一對親和數是什麼？」的問題。
今天我檢查自己寫的親和數搜索程序的結果時，發現了（兩個數都）超過100億億的第一對親和數：

1000000431102338325 和 1162898634497661675

按照親和數的密度粗略估計，在100億億附近大概每三萬億中才會有一對親和數，我沒想到搜索了五千億個數字就把它找到了（前5000億的數字還沒搜索完，但按照這個密度來估計的話，這5000億中應該不會再出現別的親和數了），在100億億附近每搜索一億個數字需要接近十分鐘的時間。
下面說明一下他們確實是一對親和數（後面可以太長不看了）

1000000431102338325=32×52×11×19×31×59×1217×1249×7649

=(33-1)/2×(53-1)/4×(11+1)×(19+1)×(31+1)×(59+1)×(1217+1)×(1249+1)×(7649+1)

=2162899065600000000

=2162899065600000000-1000000431102338325=1162898634497661675

1162898634497661675=32×52×31×173×5399×178499999

=(33-1)/2×(53-1)/4×(31+1)×(173+1)×(5399+1)×(178499999+1)

=2162899065600000000

=2162899065600000000-1162898634497661675=1000000431102338325

當分解後某個素因子的指數是1的時候，乘的應該是(p2-1)/(p-1)，但它實際上等於(p+1)，所以求約數之和的時候我用了很多(p+1)在那。



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