用數學魔法改變人生：勇敢探索未曾抵達的疆域

科幻小說甚至可以啟發我們思考如何與地球以外的其他物種交流。2016 年的科幻片《降臨》講述的是一位語言學家逐漸學會與外星人交流的故事。但是, 關於外星生命是否存在的問題, 數學能給我們一些啟示嗎?

為了尋找外星智能,美國天體物理學家弗蘭克·德雷克博士創立了地外文明搜尋計劃(SETI)。有趣的是, 就在 20 世紀末, SETI 發布了一個名為「在家搜尋地外文明」(SETI@ home)的電腦程式, 目的是利用個人計算機閒置的計算能力, 幫助該組織完成一些與搜尋外星生命有關的複雜計算。 你可能已經猜到了, 我們全家都自豪地加入了這個活動,同 世界上其他 29 萬臺計算機一起,為尋找其他生命而努力!

最近, 我再次加入了 SETI@home 的一項活動, 允許他們使用我們家網際網路寬帶的閒置帶寬, 以支持監聽來自太空的窄帶寬無線電信號。這些信號不屬於任何我們已知的自然產生的信號, 因此, 一旦我的筆記本電腦監測到這些信號, 就可以作為證明外星人技術存在的證據(但到目前為止, 我還沒有發現任何外星人)。

1961 年, 德雷克提出了一個公式, 用於估算銀河系中可能存在多少個可探測到的外星文明。這個公式不像可以計算出直角三角形邊長的畢達哥拉斯定理那樣嚴謹, 但它為我們開啟了廣闊的可能性。

德雷克公式也可以被看作一個非常粗略的計算過程, 這類估算在技術上有一個名稱——費米估算。這是以 1938 年諾 貝爾物理學獎得主恩裡科·費米的名字命名的一種估算技術, 可以讓我們在缺少甚至沒有真實數據的情況下做出適當的近似計算。最著名的一個例子,就是費米根據他拋灑的碎紙片飄過的距離估算出原子彈爆炸的強度。

費米估算的一個經典應用是估計芝加哥市的鋼琴調音師人數。下面, 我們來分析一下他的邏輯推導過程。

(1)芝加哥大約有 300 萬人口。

(2)假設一個普通家庭有 4 個人, 那麼全市有 75 萬個家庭。

(3)假設 1/5 的家庭擁有鋼琴, 那麼芝加哥有 15 萬架鋼琴。

(4)假設鋼琴調音師平均每天調試 4 架鋼琴(每周 5 天工作制),每年有 2 周的假期(美國人比我們英國人工作更努力!)。

如此計算, 一年(52 周)下來, 一位鋼琴調音師可以調試 1000 架鋼琴。因此, 假設每臺鋼琴每年需要調音一次, 費米估計, 芝加哥一共有 150 名鋼琴調音師,因為 150000 / (4×5×50) = 150。

我曾讓班上的學生用這種方法估算英國人每年吃多少碗麥片, 或者歐洲人每天步行多少千米。如果你做出合理的假設, 然後把它們串在一起, 就可以做出一些令人吃驚的預測!

現在, 我們利用德雷克公式, 估算銀河系中可探測文明的數量:

• N = R*×fp×ne×f1×fi×fc×L
• N = 銀河系中可探測到的文明的數量
• R* = 適合智能生命發展的恆星形成速率
• fp = 這些恆星擁有行星系統的比例
• ne = 太陽系中適合生命棲居的行星數量
• f1 = 適合生命棲居的行星上真的有生命存在的比例
• fi = 有生命存在的行星上出現智能生命的比例
• fc = 文明發展出通信技術(即向太空釋放出可探測到的表明該文明存在的信號)的比例
• L = 這些文明向太空釋放可探測信號的時間長度

讀到這裡, 你可能會想, 我們很難知道這些變量的值到底是多少!事實上, 德雷克寫這個公式是為了鼓勵科學界展開討論, 而不是給我們一個確切的答案。不過,德雷克也給出了下面這些估計值:

• R* = 1(銀河系形成以來,平均每年形成 1 顆恆星)
• fp = 0.2~0.5(1/5 到 1/2 的恆星有行星)
• ne = 1~5
• fl = 1(這些行星百分之百會產生生命)
• fi = 1(這些行星百分之百會產生智能生命)
• fc = 0.1~0.2(這些文明發展出通信技術的比例為 10%~20%)
• L = 1000~1000000000 年

如果所有變量都取最小值, 就會得到 N = 20;都取最大值, N 的值為 5000 萬。總的來說,德雷克和他的同事估計銀河系中有 1000~1 億個文明。當然, 任何一步估算都很容易引起爭議, 但是德雷克公式肯定是人們在家裡聊天時會談到的一個話題。

在我看來, 如果有智慧的外星人確實存在(當然,微生物或者長得像鼻涕蟲的地外生物不包括在內), 他們對現實的看法肯定與我們不同。他們不太可能欣賞達·文西的畫作、 貝多芬的鋼琴協奏曲、迪吉裡杜管的樂聲、莎士比亞的戲劇,甚至加雷斯·索斯蓋特的英格蘭足球隊踢出來的賞心悅目的定位球也無法吸引他們。不過, 他們的數學似乎很有可能和我們的數學是一樣的。 儘管外星生命的數字系統可能會採用不同的進位, 但他們的質數應該與我們一樣, 都是 2,3,5,7,11 等。數學很可能是一種普遍性更強的交流語言, 沒有優秀藝術或文學作品所具有的人類主觀性。數學真理應該是普遍性真理。所以, 儘管在電影《降臨》中, 語言學家是第一批與外星人交流的人, 但更合適的人選是否應該是數學家呢?

不過, 我們肯定無法搞清楚這個問題的答案。我們認為計數是一種自然現象, 是因為我們可以數出牛群裡有多少頭牛, 月相周期是多少天, 或者我們部落裡有多少人。不過, 如果另一個物種的具體經歷和我們不同,比如說他們生活在一個巨大的氣態行星上, 那麼他們的數字概念可能會更加靈活多變。因此, 數學也許不會像我想的那麼普遍。但我確實認為, 與其向他們展示畢卡索的畫作或莫扎特的弦樂四重奏, 還不如以數學為起始點, 與我們的新外星霸主開展對話。

越來越多的人認為地球可能無法永遠維持人類的生命。 最終導致人類離開地球的原因有可能是外部威脅(如小行星 撞擊)或內部威脅(人類對世界的影響,如氣候變化)。史蒂芬·霍金甚至特別指出, 再過 100 年,人類就需要在其他星球上開拓殖民地了。如果說作為一個物種, 我們應該著手開發未來需要的科技, 那麼數學必須處於這些科技的核心位置。太空探索技術公司(SpaceX)執行長、億萬富翁埃隆·馬斯克認為, 人類應該優先考慮在火星定居, 他甚至建議在 2019 年上半年利用火箭開啟地球與火星之間的「往返航班」。這樣的話, 到 2070 年,生活在火星上的人數就有可能達到 100 萬。

德雷克公式巧妙地證明了數學的力量, 使我們能夠估算出銀河系中智慧文明的數量。雖然太空探索似乎與我們的日常生活關係不大, 但它賦予我們一個契機, 使我們可以利用數學來思考太空中可能有什麼。

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上文節選自中信·鸚鵡螺《用數學魔法改變人生》, [遇見]已獲授權.