【趣味物理】遊戲與概率有何不解之緣?

原標題：【趣味物理】遊戲與概率有何不解之緣？

愛因斯坦那句經典的名言「上帝永遠不會擲骰子」相信大家都聽說過，概率已經從一種工具上升到了世界觀的層面。而概率最初從何而來，它與遊戲又有哪些淵源呢？

概率論作為數學領域的一大分支，是進行科學研究的重要工具。我們的日常生活中也經常說到概率，或者是它的其他叫法比如「機率」、「可能性」等等。伴隨著20世紀量子理論的興起，整個世界都變得「概率」了，以往的嚴格決定論被不確定性原理所取代。愛因斯坦那句經典的名言「上帝永遠不會擲骰子」相信大家都聽說過，概率已經從一種工具上升到了世界觀的層面。而概率最初從何而來，它與遊戲又有哪些淵源呢？

概率論是怎樣從遊戲中誕生的？

說了半天的「概率」，我們還是先了解下概率的定義吧。概率是對隨機事件發生可能性的度量，也有人叫它機會率、機率等，通常使用0~1之間的數表示，有時候我們也會用百分數表示，道理是一樣的啦！1或者100%表示這個事情一定會發生，反過來，0或者0%（其實還是0）表示事件一定不會發生，從0~1之間的數就表示事件發生的可能性，越大發生的可能性越大，反之亦然。概率論則可以通俗的理解成研究概率的理論。

概率論的誕生頗有些戲劇性，在文藝復興時期，義大利有位學者名叫卡爾達諾（Girilamo Cardano，也譯作卡當），這位學者也算是個全才，在數學、物理、佔星方面都有所研究，還是個醫學博士，唯一的缺點就是好賭，而且賭運不佳。當時的賭博就是最簡單的擲骰子，也就是骰子遊戲，我們的卡爾達諾就在這小小的骰子上輸掉了大量的家產。卡爾達諾先生充分發揮了自己的專業技能，開始專研怎樣賭骰子勝算比較大，最後還整理出來了一部專著《論賭博遊戲》。在這本書中，卡爾達諾描述了概率的古典概型，得出了「同時投擲兩個骰子，出現的點數之和是7的可能性最大」的結論。只是不知道這個結論有沒有讓卡爾達諾在骰子遊戲中佔得先機。

無獨有偶，100多年後，法國的賭徒梅內（Chevalier de Mere，也譯作梅累）又遇到了概率難題，他玩骰子，有兩種玩法，一個是擲一個骰子4次，看這4次中是否能擲出一個6；另一個是同時擲兩個骰子，連續扔24次，看能否出現一次點數和為12的情況。梅內覺得兩者贏得可能性是相等的，事實卻是第一個遊戲他贏得多一些，而第二個輸得多一些。

梅內雖然不像卡爾達諾一樣是個數學家，但是梅內有懂得數學的朋友。梅內把他的問題和當時的著名數學家帕斯卡說了（就是那個物理學家帕斯卡，他其實也是數學家），除了這個問題還有幾個其他的梅內在賭桌前遇到的困惑，包括著名的「賭金分配」問題。這幾個問題激起了帕斯卡的興趣，在隨後的幾年，他與另一位數學家費馬通過信件交流，解答了賭金分配的問題，並且定義了概率。後來，惠更斯也加入了進來，並在討論的基礎上寫出了《論賭博中的計算》。這也被認為是概率論的開山之作，在書中描述了概率論的基本公理體系，從此概率論脫離了骰子遊戲。

概率是怎樣融入到遊戲中的？

此後漫長的歲月，見證了概率論的發展和在社會各個領域的應用。而我們的遊戲也在近一個世紀開始出現了新的形態——桌面遊戲。嚴格地說，桌面遊戲的歷史可以追溯到幾千年以前，但是桌面遊戲的復興的確是在20世紀初期才開始的。

在國內，讓桌遊突然火起來的功臣非「三國殺」莫屬了，最近幾年，三國殺可以算是風靡大江南北，長年佔據國內桌遊銷售榜首位，除了是以三國歷史為背景，另一方面也是遊戲的平衡性做得很好，技能設計比較合理。為了保證每個玩家都能很好的體驗遊戲，每個技能的強度要大體相等，這就需要概率在背後做支持。下面我們來舉個例子看一下，概率是怎樣支持著遊戲的。

周瑜的技能「英姿」（英姿：摸牌階段，你多摸一張牌）、貂蟬的技能「閉月」（回合結束階段，你可以摸一張牌）和甄姬的技能「洛神」（洛神：回合開始階段，你可以進行判定，若牌為黑色，立即獲得此牌，並可以再次使用洛神——如此反覆，直到出現紅色判定牌為止。）

這三個技能是標準版中補牌的好技能，第一個「英姿」和第二個「閉月」，除了時機不同，強度是一樣的，都是摸一張牌。而「洛神」技能使用起來的不確定性可就要大得多，有人說「洛神」太厲害了，一次可以摸好多張牌；有人說「洛神」太弱了，經常一張牌都摸不到。為了準確衡量「洛神」的強度，我們引入概率論來解釋這一問題。

回顧之前的基本定義，結合上面的例子，不難發現「英姿」和「閉月」摸一張牌的概率都是100%，而洛神的話概率相對來說要麻煩一些，我們先要了解牌庫的構成。首先要知道的是，三國殺的牌庫中紅色和黑色各一半，牌庫用完會洗牌，那麼在假設牌庫是無限的情況下，每次打開一張判定牌，紅色和黑色的概率是相等的都是0.5，如果第一張是紅色，那麼這次技能就結束了；如果是黑色，我們可以再打開一張，同樣紅黑的可能性是相等的而且是對半的，那麼第二張摸到紅色卡牌的概率是0.5的平方，也就是0.25，此時，洛神的收益是一張，以此類推，可以得到下表

洛神收益

0

1

2

3

4

5

6

……

N

摸牌次數

1

2

3

4

5

6

7

……

N+1

發生概率

0.5

0.52

0.53

0.54

0.55

0.56

0.57

……

0.5n+1

為了計算最後總體的收益，我們引入概率論裡面的又一個重要概念——「期望」。

期望是指一切可能值與其對應的概率的乘積之和，在這個例子中可能值就是指的洛神的收益，也就是第一行，而對應的概率就是指同一列中最後一行的數值，對應相乘再相加。

那麼，洛神的期望收益可以用這個算式來表示

P洛神=0×0.5+1×0.52+2×0.53+3×0.54+4×0.55+…+n×0.5n+1

這個算式裡面P是英文單詞「收益（profit）」的縮寫，n是正整數，趨向於無窮。

現在，我們有了算式，但是要怎麼計算呢？這個算式倒是可以看成是數列求和，但是也不是等差數列也不是等比數列，而是兩種數列的混合，面對這種數列求和，我們可以使用「錯位相減法」。

具體的做法是，將整個算式乘以0.5，算式就變成了

0.5×P洛神=0×0.52+1×0.53+2×0.54+3×0.55+…+（n-1）×0.5n+1+n×0.5n+2

兩個算式做減法，0.5的同次方項對應相減，可得

0.5×P洛神=0.52+0.53+0.54+0.55+…+0.5n+1-n×0.5n+2

這樣就看到了我們熟悉的等比數列了，運用等比數列求和公式，Sn=a1(1-qn)/(1-q)，（其中a1為首項，q為公比）

P洛神=1-(1+0.5×n)×0.5n

當n=10的時候，洛神的期望收益，0.994≈1，當n取更大的值得時候期望收益會變得更接近於1，n等於幾，表示你限定最多抽幾次牌，而期望收益約等於1，則說明在多次使用這個技能的時候平均每次的得牌數會穩定在一張。這和周瑜的「英姿」、貂蟬的「閉月」是等價的。不同的是，「英姿」、「閉月」是穩定的每回合一張，而「洛神」是多次使用平均每次一張，會有比一張多，也會有一張都拿不到，但是多次使用的平均效果會是一張。在保證預期收益相等的情況下，增加了技能的變化，豐富了遊戲的可玩性，概率就這樣在背後默默地支持著遊戲機制的均衡。

概率論在遊戲中的應用當然不僅限於此，事實上，在一些大型的電子遊戲中也應用了概率論，有些概率甚至可以反映在遊戲的面板上讓我們看到，比如RPG遊戲裡面的數值，有些概率我們只能看到對應的隨機事件的發生，比如射擊遊戲裡的子彈軌跡。可以說，有了概率論，以及計算機處理器強大的運算能力，才使得遊戲世界變得更加多變，更加貼近我們的真實生活。

文章來源：蝌蚪五線譜

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