三扇門遊戲與先驗概率、後驗概率

2021-01-14 輕鬆學高等數學

思考(請在看完下面的文章後再解答此題,明天回復1獲取答案)

有三個囚犯A,B,C. 第二天將其中的兩個人釋放.每個人的機會均等,但釋放人員已經確定,3個人都不知道誰會被釋放.監獄的看守是A的朋友,於是A去詢問看守釋放的情況,A說,我知道他們兩人中一定有人會被釋放,你告訴我是誰也無所謂.看守說,如果你知道誰被釋放,那麼你被處決的概率將由1/3增加到1/2,你還想知道嗎?如果你是A,你怎麼看?他說的對嗎?


在講條件概率的時候課本上提到了先驗概率與後驗概率,對於這兩個概念很多同學不理解,下面我來重點剖析一下。

對於一個事件A的概率,我們很難知道它的精確值,除非像拋硬幣的理想實驗,在試驗之前,可以明確P(正面朝上)=1/2,其它的比如課本上提到的一臺新機器生產產品的合格率,我們是不可能知道它的精確值的,所以只能根據以往的數據進行分析得到,這批機器已經生產了10000件產品,合格的有9999件,則其合格率為0.9999,這個概率值就是一個先驗概率,把這個值賦予這這臺新機器,是基於以前的經驗,所以是先驗概率,記為P(A)。

後驗概率則是在得到新信息後再重新加以修正的概率,後驗概率是條件概率,新得到的信息作為條件,記為P(A|新信息),其中新信息可能是新機器生產的前多少件為合格品。

問題來了,先驗概率和後驗概率哪個更大呢?

還是以此題為例:

對以往的數據分析結果表明,當機器調整良好時,產品合格率為98%,而機器發生故障時產品合格率為55%,每天早上機器開動時,機器調整良好的概率為95%,已知某日早上第一件產品是合格品,試求機器調整得好的概率?

分析:設A為事件「產品合格」,B為事件「機器調整良好」,則p(B)=0.95就是一個先驗概率,題目中給出了新的信息,已知某日早上第一件產品是合格品,則此時所求的就是後驗

可見當給出的是不利於調整良好的新信息時,其後驗概率會變小。

這是顯而易見的,再列出幾個實例:

某人有種疾病的發病率為a(先驗概率),檢查呈陽性,則得病率(後驗概率)大大增加;

某班以往數學成績的及格率為0.95,即任抽一人及格的概率為0.95,這是先驗概率,但發現抽出人為第一,倒數的,則及格率大大下降。

後驗概率是個條件概率,對於條件,我們一定要搞清楚,不要遺漏任何信息.

比如三門遊戲:

有三個門,裡面有一個裡有汽車,如果選對了就可以得到這輛車,當應試者選定一個門之後,主持人打開了另外一個門,空的。問應試者要不要換一個選擇。假設主持人知道車所在的那個門。

此題有很多討論,但很多人看後沒有完全明白怎麼回事,下面我來償試解答一下:

你選一個門後,中獎概率顯然為1/3, 然


後如果主持人不知道是哪一個門後面有汽車,他隨意選的,打開之後是空門,則此時剩下你所選的門和另一扇門,則不管換與不換,都是

P(不換|隨機打開一扇門,為空)=P(換|隨機打開一扇門,為空)=1/2

所以你換與不換中獎概率都是1/2.

此題關鍵在於新知信息絕不是打開一扇空門那麼簡單,而應該這樣描述:

P(你不換|主持人知道車在哪一個門,他打開你沒選的另一扇空門)與P(你換|主持人知道車在哪一個門,他打開你沒選的另一扇空門)哪一個概率大!

不妨設你抽的是第一扇門,設後面有車的門為1,其它為0,則所有可能情況見下表:


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