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概
率
分
布
概率在遊戲中應用非常廣泛，開箱、抽卡、道具掉落的背後都有一套複雜的概率模型在支撐。而且遊戲追求的是玩家覺得公平，而不是絕對公平。因此在遊戲設計中不能完全遵守某一種既定概率分布，需要對概率模型進行不斷的調試。本文就來介紹幾種常見的概率分布，及其在遊戲中的應用。本文偏數值理論，了解即可。
1
、二項分布
二項分布是指在只有兩個結果的n次獨立的伯努利試驗中，所期望的結果出現次數的概率。在單次試驗中，結果A出現的概率為p，結果B出現的概率為q，p+q=1。那麼在n=10，即10次試驗中，結果A出現0次、1次、……、10次的概率各是多少呢？這樣的概率分布呈現出什麼特徵呢？這就是二項分布所研究的內容。維基百科
擲一枚硬幣出現正面和反面的概率各為0.5，那麼擲1次，出現正面的概率肯定是0.5。擲2次、擲3次呢？
擲2次出現的結果有4個，正正、正反、反正、反反。因為p=0.5，所以每個結果出現的概率是0.5×0.5=0.25，那正面出現2次、1次、0次的概率分別是0.25、0.5、0.25。
擲3次出現的結果有8個，每個結果出現的概率是0.5×0.5×0.5=0.125，那正面出現3次、2次、1次、0次的概率分別是0.125、0.375、0.375、0.125。
統計學家們總結出了計算概率的一般公式：
其中b表示二項分布的概率，n表示試驗次數，x表示出現某個結果的次數。是組合，表示在n次試驗中出現x次結果的可能的次數。如10次試驗，出現0次正面的次數有1次，出現1次正面的次數有10次，……，出現5次正面的次數有252次，等等。其計算也有一個通式：
二項分布在遊戲中使用的很多，比如抽卡系統。一般策劃會設定抽到xx卡的概率是多少，這個進行n次抽卡，抽到幾張xx卡的概率分布函數就是二項分布。根據定義可知，在二項分布中，n次試驗中正好得到k次成功的概率由概率質量函數給出：
那麼怎麼測試這張卡被抽中的概率呢？這裡看一個例子，下圖分別是概率為0.1的事件在10,100,500和1000次的事件中的出現次數的概率分布。
可以看到隨著試驗次數的增多，中間的峰越窄，事件發生的次數越向真實概率集中，可以預見的，我們測試抽卡次數越多，所得到xx卡的數量就越接近於它的本身概率。
2、
泊松分布
Poisson分布，是一種統計與概率論中常見的離散概率分布，由法國數學家Siméon-Denis Poisson在1838年發表。其適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的概率分布。如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數，電話交換機接到呼叫的次數、汽車站臺的候客人數、機器出現的故障數、自然災害發生的次數、DNA序列的變異數、放射性原子核的衰變數、雷射的光子數分布等等。維基百科
泊松分布對應的是二項分布的極端情況，當二項式分布的次數n很大，而發生的概率p很小時，就可以使用泊松分布代替二項式分布，具體來說，它的成立需要滿足三個條件
1.事件是小概率事件
2.事件是獨立的，不會互相影響
3.事件發生的概率是穩定的
先來看一個例子（引自「阮老師談泊松分布」）：
已知某家小雜貨店，平均每周售出2個水果罐頭。請問該店水果罐頭的最佳庫存量是多少？
假定不存在季節因素，可以近似認為，這個問題滿足以下三個條件：
（1）每個顧客購買水果罐頭是小概率事件（顧客的數量很多）。
（2）購買水果罐頭的顧客是獨立的，不會互相影響。
（3）顧客購買水果罐頭的概率是穩定的。
在統計學上，只要某類事件滿足上面三個條件，它就服從"泊松分布"。
泊松分布的公式如下：
各個參數的含義：
P：每周銷售k個罐頭的概率。
X：水果罐頭的銷售變量。
k：X的取值（0，1，2，3...）。
λ：每周水果罐頭的平均銷售量，是一個常數，本題為2。
根據公式，計算得到每周銷量分布：
從上表可見，如果存貨4個罐頭，95%的概率不會缺貨（平均每19周發生一次）；如果存貨5個罐頭，98%的概率不會缺貨（平均59周發生一次）。
泊松分布在遊戲中主要用於道具掉落。已知某珍惜道具，平均每周掉出2個，請問該在每周掉出多少個時設置報警？看到這裡，是不是立馬就得出了答案？因為遊戲中，玩家的行為是未知的，就算知道了道具掉落的概率，也很難在實際中計算玩家得到道具的概率，這個時候，只使用平均每周掉出2個這一項數據，就可以根據泊松分布計算出概率分布，從而確定掉落大於多少時是小概率事件。
3、
指數分布
在某遊戲抽卡系統中，策劃填了設置SSR被抽中的概率是5%，策劃說，設置5%是為了給玩家抽卡20次就抽中一次的體驗。但是遊戲上線後，許多玩家在抽卡時抱怨臉黑，很難抽到SSR，而又有一部分玩家反應運氣好能連著抽到紫卡，和策劃20次中一次的預期不符。項目組第一反應是遊戲中出現了bug，但是一直排查不到，這時，程序靈機一動，寫了一個模擬抽卡的程序，並畫出了圖，也就是下圖，下圖為概率5%，模擬50000次隨機得到的結果：
上圖中紅色的是分布圖，X軸是出現次數，Y軸是抽中SSR間隔。而綠色的圖是概率分布圖，X軸是間隔數，Y軸是概率。
按策劃的想法，5%概率應該等同於20次出現一次，那上圖很明顯並不滿足20次出現一次出現規則，實際間隔從近到遠呈下坡形狀分布，就是說相鄰的概率最大，間隔最大超過160，這與玩家所吐槽的抽卡體驗是一致的。但50000次隨機總共出現了2508次，從統計的意義上來說又是符合5%概率的。
所以這個問題，究其原因就是所謂的概率是統計意義上的還是分布意義上的問題。
這裡，就需要介紹另一個分布：指數分布。
指數分布（Exponential distribution）是一種連續概率分布。指數分布可以用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔，比如旅客進入機場的時間間隔、打進客服中心電話的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔等等。維基百科
指數分布是固定概率事件的出現間隔的概率分布，應用到抽卡中，就是兩次抽中xx卡之間間隔抽卡次數的分布。它的分布大概是這樣的：
可以看到，這個曲線和上文的綠色曲線大致吻合，這說明遊戲的實現沒有錯，設置5%的抽中概率，就是會得到這樣的間隔分布曲線，所以，錯的是那個項目組策劃的想法：5%概率應該等同於20次出現一次。而且，在抽卡系統中，不論SSR被抽中的概率設置的多小，連續抽中的概率總是相對較大的。
那麼，這個問題要怎麼解決呢？這就需要引入random shuffle算法，也叫洗牌算法，是一個用來將一個有限集合生成一個隨機排列的算法，這個算法生成的隨機排列是等概率的。具體講解，敬請請期待下篇文章。