如何理解拉格朗日方程

拉格朗日方程是理論力學中非常重要的一個方程，它和牛頓力學一樣，都是一種對力學系統的描述。但與牛頓力學不同的是，他以整個系統的視角來分析系統的運動狀態，而牛頓力學則是對每一個質點進行單獨的分析。兩種方法等效、且可相互推導，但使用場景則大不相同。本文旨在通過牛頓力學來導出拉格朗日方程。

 拉格朗日方程導出 我們研究物體在保守系統中的運動情況。所謂保守系統，是指物體所受的力都是保守力。而保守力則是指物體在該力的作用下做功的大小與路徑無關。 我們首先給出牛頓第二定律：

以下的步驟皆是通過對牛頓第二定律的變形，來得出拉格朗日方程。我們先補充一個動量p、速度V、和動能T的等式。我們有:

可以看出動能關於速度的導數是動量。而:

我們把速度V記作X'，有：

同時，我們來看勢能U和力F的關係：

帶入牛頓第二定律有：

我們觀察到，T與x無關，U與x'無關，因此我們令L=T-U代入得：

這個L叫做拉格朗日函數（Lagrangian）。拉格朗日方程有兩個很重要的特點。拉格朗日方程的特點 第一個特點就是對各種廣義坐標都是成立的，換而言之，這裡的位移位移X，速度X'，換成其他的廣義位移r，和廣義速度r'，這個方程仍然成立！第二個特點就是，哈密頓原理中的那個作用量：

恰好是拉格朗日函數的積分，而且讓作用量變分等於0，也能導出拉格朗日方程。

歡迎各大讀者朋友投稿，留言收集發表各種詩歌，美文，科學，數學，工學，經濟學，哲理，生命感悟，還有各種搞怪望你不忘初心，筆耕不輟。——被遺忘的文字