拉格朗日點和拉格朗日乘子法

2021-01-14 校苑數模

拉格朗日點指受兩大物體引力作用下，能使小物體穩定的點。一個小物體在兩個大物體的引力作用下在空間中的一點，在該點處，小物體相對於兩大物體基本保持靜止。在每個由兩大天體構成的系統中，按推論有5個拉格朗日點，但只有兩個是穩定的，即小物體在該點處即使受外界引力的攝擾，仍然有保持在原來位置處的傾向，每個穩定點同兩大物體所在的點構成一個等邊三角。

在天體力學中，拉格朗日點是限制性三體問題的5個特解。「三體問題」簡單地說，就是「太陽-地球-小質量物體」，或者「太陽-木星—小質量物體」這樣的「三個天體」的系統如何運行。說得詳細一點，就是研究這樣的問題：「太陽-地球」或者「太陽-木星」這些天體系統，如果有無限小質量的物體加入進來，那麼在萬有引力作用下，這些小物體會怎樣運動。「三體問題中」最簡單的一種類型，是「平面圓形限制三體問題」。如果小質量物體處在某一個拉格朗日點上，那麼它所受到的太陽-木星的引力，恰好等於它與太陽-木星一起轉動時所需要的向心力。這就是說，處在某一個拉格朗日點上，小質量物體就可與太陽-木星的相對位置保持不變。這些由力的相互作用產生的均衡點，使得飛船可以「停」在那兒進行觀察，所以也被形象地稱為「太空停車場」。

1906年首次發現運動於木星軌道上的小行星（見脫羅央群小行星）在木星和太陽的作用下處於拉格朗日點上。

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  • 拉格朗日
    約瑟夫•拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法國數學家、物理學家。他在數學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數學方面的成就最為突出。　　拉格朗日生平　　拉格朗日1736年1月25日生於義大利西北部的都靈。
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    20歲時，受歐拉的舉薦，拉格朗日被任命為普魯士科學院通訊院士。義大利、德國、法國三個國家的科學院，在數學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，拿破崙稱他為「數學科學高聳的金字塔」，是18世紀歐洲最偉大的數學家。
  • 拉格朗日【數學史】
    拉格朗日和歐拉被認為是18世紀兩個最偉大的數學家。拉格朗日出生在義大利的都靈，混雜著法國和義大利的血統。他的祖父是法國騎兵隊隊長，為撒丁島的國王服務以後，在都靈定居，並與當地的一個著名家族聯姻。拉格朗日的父親一度擔任撒丁王國的陸軍司庫，但卻沒有管理好自己的財產，因此拉格朗日所繼承的遺產寥寥無幾。
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    當空間有多個星體同時作用於飛行體時，空間會出現特殊的小區域，在那些點上，多個星球的引力會相互抵消（達到平衡），出現類似於地面上的「小平臺」、「小凹地＂，這些點正是我們要尋找的「太空停車場」。天文學稱它為拉格朗日點。下圖表示在太陽和地球共同作用下，形成的五個特殊點，通常稱為地日系拉格朗日點。
  • 太空停車埸——太陽系裡的拉格朗日點
    當周圍有多個星體同時作用於飛行體時，空間會出現一種特殊區域，在那裡，各星球的引力相互抵消（達到平衡），出現類似於地面上的「小平臺」那樣的小區域，也會出現「引力勢」呈現低凹區的特殊點，這些點正是我們要尋找的「太空停車場」。天文學稱它為拉格朗日點。下圖表示在太陽和地球共同作用下，形成的五個特殊點，通常稱為地日系拉格朗日點。
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    在大學中函數的維度不再局限為一元，大學課程中有關於二元函數最值求解內容，也有二元條件最值的求解內容，今天給出大學中利用拉格朗日乘數法求解二元條件最值的方法，該方法很容易掌握，避免了技巧性過高的拼湊，但是在計算複雜度上可能有所提高，內容僅供參考。
  • 拉格朗日的傳奇人生
    拉格朗日是法國人，不過兼有法國和義大利血統。他1736年生於義大利都靈。他的祖父是法國的炮兵隊長，受聘來到都靈為撒丁王國服務，和當地一位名門閨秀結婚以後，就在這裡定居下來。父親一度是撒丁陸軍部的一名軍官。
  • 限制性三體問題特解—拉格朗日點,為何成為太空飛行器的「停車場」
    科學家很快意識到，這或許就是拉格朗日點存在的證據；很快，天文學家又在相反的的位置上，也發現了小行星，後來還發現了大量的小行星，存在於這兩個點上，後來科學家將拉格朗日點運用到了地球上。如圖示，歐拉發現的點均在上圖的X-軸上。M和M1，M2比質量過小而不影響M1和M2的運動軌跡。