限制性三體問題特解—拉格朗日點,為何成為太空飛行器的「停車場」

2020-12-03 胖福的小木屋

「三體問題」是天體力學中的基本力學模型。它是指三個質量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質點的天體,在相互之間萬有引力的作用下的運動規律問題,所以這樣就存在著無數種的運動軌跡,三體問體也被稱為永遠無解的難題。

就像劉慈欣小說《三體》中的三體人所處的環境一樣。

三體星擁有三個太陽。由於三個太陽之間的萬有引力定律,形成了一個「三體」模型,但三個太陽處於無規律運轉狀態,而這就帶來了氣候的不穩定性,物種的混亂,且完全無法預測未來的天氣走向,造成行星上智慧生命不斷地重生和毀滅,最後只剩下三體文明存活下來。

通過這個例子你明白了為什麼說「三體問題」永遠無解了吧!因為我們無法獲悉整個三體模型的規律。

在現實狀態,任何一種天體模型都會受到多種因素影響,比如說月球繞著地球的運動,現實生活中應該把地球看成一個橢球體,那麼月球的引力就不固定了,再考慮到潮汐作用就更加複雜了。

這樣就讓科學家頭疼不已,這麼多變量怎麼求啊?

所以為了解三體問題,那就考慮再簡化些吧。把三個天體看作三個質點,認為其中一個質點的質量非常小,它對其它兩個質點的萬有引力可以忽略。這樣一來,三體問題就簡化成了「限制性三體問題」。

事實上,這樣的簡化等於是先解一個二體問題,然後加入一個質量很小的質點,再求解這個質點在二體體系中的運動方程。然而,即使這樣也還是太複雜了。需要再作簡化,就是所謂「平面限制性三體問題」,就是要求三個質點都在同一個平面上。

所以我們所說的限制性三體問題僅僅是對物理實際簡化的結果,現實生活中是無法用簡單的質點來模擬運動的,其額外因素非常多。

太陽系中太陽、地球和月球的運動,科學家就通常將其看作限制性三體問題,這是因為因為太陽的軌道恆定,地球的軌道恆定,地日的關係恆定,將它略去太陽軌道偏心率、太陽視差和月球軌道傾角,將它看成一種特殊的數學模型。從而得到一個周期!

也正因為太陽系中太陽、地球和月球的運動軌跡可循,因此地球才能維持相對恆定的生存環境,這就是我們和三體星的區別。

但是,即使是對這樣極度簡化的模型,也還是沒有解析通解,也就是得到一個普遍適用的公式是不可能的。

為什麼會這樣呢?因為如果要真正解決三體問題,是要建立一種數學模型,使得在已知任何一個時間斷面的初始運動矢量時,能夠精確預測三體系統以後的所有運動狀態。因為每一個天體在其他兩個天體的萬有引力作用下的運動方程都可以表示成3個二階的常微分方程,或6個一階的常微分方程,而我們只能找到十六個積分,無法求解這個十八階的微分方程租。

如果我們用現如今最快的計算機模擬三體運動他們的模型是這樣的,完全處於混沌狀態。

而不同的天體組成「三體問題」,它們的運動軌跡只能一個個去計算,那麼它的數值解肯定是會不一樣的,而求解過程中的計算會存在誤差,但這些微小誤差由於互相累積會被極度放大,其結果也是發散的,即可能與實際情況偏差極大。(數值解是在特定條件下通過近似計算得出來的一個數值, 解析解就是表達式中可以算出任何對應值)

正因為我們根本沒有辦法把所有「三體問題」歸納整理為一個公式,從而得出解析解,所以科學家才會把「三體問題」看作是永遠無解的難題。

限制性三體問題的特殊條件解(特解):拉格朗日點

正是因為三體問題永遠無解,所以科學家一般都是研究限制性三體問題的特解。正如我們剛才所說:

限制性三體問題是指在三個天體中,有一個天體的質量為無限小,以至於它的存在不影響另外兩個有限質量天體在相互作用下的運動。

後來科學家就把限制性三體問題按有限質量天體的運動軌跡,可以分為圓型限制性三體問題,橢圓型限制性三體問題,拋物線型限制性三體問題。

而其中我們最為熟悉的限制性三體問題的特殊條件解,那就是拉格朗日點

這是1772年,法國數學家、力學家和天文學家拉格朗日,他發表了一篇關於「三體問題」的論文,為了求得三體問題的通解,他用了一個非常特殊的例子作為問題的結果,即:如果某一時刻,三個運動物體恰恰處於等邊三角形的三個頂點,那麼給定初速度,它們將始終保持等邊三角形隊形運動。這個問題其實是有五個解的,分別是L1、L2、L3、L4、L5。

其實早起1767年,數學家歐拉根據旋轉的二體引力場推算出其中三個點(特解)L1、L2、L3,1772年的時候拉格朗日算出另外兩個點(特解)L4、L5。

拉格朗日點的首次證明是在1906年,天文學家沃爾夫發現了一顆行為怪異的小行星,它的繞日軌道與木星完全相同,在木星前方運行。看上去,小行星-木星-太陽,三者總是呈等邊三角形,這顆小行星被命名為「阿基裡斯」。

科學家很快意識到,這或許就是拉格朗日點存在的證據;很快,天文學家又在相反的的位置上,也發現了小行星,後來還發現了大量的小行星,存在於這兩個點上,後來科學家將拉格朗日點運用到了地球上。

如圖示,歐拉發現的點均在上圖的X-軸上。M和M1,M2比質量過小而不影響M1和M2的運動軌跡。M1,M2可為地球和月亮(地月系統),也可為地球和太陽(日地系統),簡單來說就是地日系統和地月系統都可以看作是限制性三體問題,因而涉及地球的拉格朗日點其實有兩組。

兩組拉格朗日點分別具有什麼作用

地日系統的拉格朗日點和地月系統的拉格朗日點,帶來的不僅是易於進行觀測的穩定軌道,不同拉格朗日點特殊的位置還為探測器提供了獨一無二的太空環境。

我們從上文也知道,地日系統和地月系統分別有5個拉格朗日點,但只有兩個點是穩定的,也就是L4、L5,剩餘的點卻也有非常主要的利用價值。而太空飛行器也會根據其執行任務的不一樣,而選擇不同的點。

首先是地日系統的拉格朗日點,這五個點的位置分布如下:

地日L1點介於地球和太陽之間,遠離地球可避免地球磁場對太陽風的幹擾,因而地日L1點非常適合研究太陽風並為地球提供太陽風預警。美國航空航天局(NASA)於1978年發射了ISEE-3,服役期間,這顆衛星主要負責研究日地環境及吹向地球的持續太陽風,它不但是第一顆在日地之間第一拉格朗日點(L1)做以上研究的衛星,也是第一個與彗星相會並採集到數據的探測器。

LISA進入地日L1點的軌道及環繞L1點的軌道示意圖

而地日L2點,其中L2點位於日地連線上、地球外側約150萬公裡處,由於位於地球背對太陽一側且相對靜止,地球會一直阻擋地日L2點的陽光,在L2點衛星消耗很少的燃料即可長期駐留,是探測器、天體望遠鏡定位和觀測太陽系的理想位置,在工程和科學上具有重要的實際應用和科學探索價值,是國際深空探測的熱點。

地日L4和L5點雖然是最好的天然穩定平衡點,但因距離地球較遠,以現階段科技難以有效利用。除去2010TK7小行星及可能的其他小行星或星雲外,並無任何人造物體在L4和L5點。

而地日系統中沒有利用價值的只有L3點,這距離地球最遠的拉格朗日點,恰好位於地球公轉軌道另一端的L3點被太陽完全阻擋,因而無法觀測和通訊。外加上天然的不穩定平衡,所以並不存在利用價值。

而地月系統的拉格朗日點雖然L1- L3是不穩定的,但可選取適當的初始擾動,使相應平動點附近的運動仍為周期運動或擬周期運動。即選取這樣的初始擾動使系統原來的解退化為周期解,相應的運動變為穩定的,此時這種穩定稱為條件穩定。

像L1位於地球和月球連線上,距離月球6.5萬公裡,可以理解為月球引力和地球引力相互抵消的點,該處的飛行器無法在水平位置保持自平衡,稍受擾動就會偏向其中一方,不過即使是不穩定平衡,藉助控制系統也能使飛船的平衡轉為穩定,所以處在該點的物體可以選擇在地球和月球引力的共同作用下,可以幾乎不消耗燃料而保持與月球同步繞地球做圓周運動。據此,科學家設想在L1點建立空間站。

在高達0079的宇宙紀元裡,所有的太空殖民空間站均位於地月L點宇域

而L2位於月球背面一側,距離月球6.5萬公裡,該處附近的飛行器無法保持自平衡,飛行器需要圍繞L2點繞行,從而達到動態平衡;所以中國鵲橋號的終點站就是環繞地月拉格朗日2點的使命軌道。

這樣,地月引力將達到平衡,鵲橋號相對地球和月球達到靜止狀態,軌道維持需要的燃料少,獲取的日照充足,可以說選擇L2點是中國能夠發射成功全球首顆月球中繼信號衛星的創新之舉。

L3:位於地球背向月球一側,比月球軌道(38萬公裡)稍微小一點,該處的飛行器無法保持自平衡。利用價值比較小。

L4、L5:對稱的兩個點,每個點與地球、月球都構成等邊三角形,這兩個拉格朗日點屬於自平衡點,該處的飛行器就算受到一定的擾動,也能主動回到平衡點,有科學家提出了在在地月系統拉格朗日點L(4,5)建立空間VLBI的設想。

高達00系列中公元2312年建立的位於L4的殖民衛星「輝煌」

由此,拉格朗日點在深空探測中發揮了重要的作用,成為太空飛行器的「停車場」,在地球上看起來,探測器永遠相對於地球靜止。

地月系統和日地系統的所有拉格朗日點

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