高中數學複合函數易錯題,記住這幾點,該類型題都這樣做可不易錯

01原題類型

若函數f(x)=㏒(8x－ax^2)(以a為底的對數)(a>0,且a≠1)在(1/4a^2,a^2)上單調遞減，則實數a的取值範圍是多少？

圖一

該題是一個複合函數的題型，所謂的複合函數就是將兩種或者兩種以上的初等函數放在一起，就叫複合函數。

該題是對數函數和二次函數相結合的題型。

對於給出的複合函數的題型，往往是很多同學容易出錯的地方。

原因：一般都是在思考這個函數的性質時，將另外一種函數的性質就忘記了。

所以做這樣的題的時候，我們要先分清楚該複合函數都包括哪兩個初等函數，先將每種初等函數的性質根據題意列出來，然後再思考其他的知識點。

下面就講解題的過程中詳細地說明，大家的易錯點和解題方法。

在解答該題的過程中，我們首先要知道該題中的知識點。

那複合函數都有哪些知識點呢？

02複合函數的知識點

如果是兩個函數組成的複合函數，即y=f(g(x))的形式。

則該複合函數的單調性滿足：同增為增；同減為增；一增一減為減。

所以該題給出的f(x)=㏒(8x－ax^2)(以a為底的對數)(a>0,且a≠1)需要分別說明這兩個函數的單調性，即對數函數和二次函數的單調性，來獲得該複合函數的單調性。

即該複合函數的單調性受組合該複合函數的兩個初等函數的單調性所決定。

但是該複合函數的中包含著參數a，所以要想知道該複合函數的單調性要分布說明a的範圍來說明對數函數和初等函數的單調性。

03分布討論說明對數函數和二次函數的單調性

當a>1時，則對數函數是增函數。

此時二次函數y=8x－ax^2是一個開口向下的拋物線。

要想滿足該複合函數在區間(1/4a^2,a^2)上是單調遞減，則二次函數在(1/4a^2,a^2)上就應該是單調遞減區間。

因為二次函數的單調遞減區間為[4/a,+∞)，則區間(1/4a^2,a^2)就應該是區間[4/a,+∞)的子區間，即1/4a^2≥4/a。

圖二

注意：對數真數大於0，所以8x－ax^2>0——該點易忘記，也是該題易錯點之一。

當0<a<1時，則對數函數是減函數。

此時二次函數還是開口向下。

要想該複合函數f(x)在區間上(1/4a^2,a^2)單調遞減，所以二次函數y=8x－ax^2在區間(1/4a^2,a^2)應該是單調遞增。

二次函數的單調遞增區間為(－∞,4/a]，則區間(1/4a^2,a^2)是區間(－∞,4/a]的子區間，則滿足a^2≤4/a。

同時還要滿足對數的真數大於0.

04該題的答案

通過上述的分析，可有的不等式為：

當a>1時，有1/4a^2≥4/a和8x－ax^2>0；

當0<a<1時，有a^2≤4/a和8x－ax^2>0.

那是不是這樣列算式就完事了呢？

答案：不是。

注意：當給出的區間都是字母時候，還要保證該區間有意義。即1/4a^2<a^2.

這是又一處易錯的地方，需要大家注意的。

正確答案：

第一步，先得出a的範圍。

因為(1/4a^2,a^2)要有意義，則1/4a^2<a^2，解得到a>√2/2.

又因為a>0且a≠0，所以此時a的取值範圍為(√2/2,1)∪(1,+∞)。

第二步，分布討論。

當√2/2<a<1時，則對數函數y=㏒x(以a為底的對數)是單調遞減的函數，則此時二次函數y=8x－ax^2在區間(1/4a^2,a^2)上就單調遞增函數。

圖三

則有a^2≤4/a，解得到a≤3次根號下4。

因為8x－ax^2是對數的真數，則有8x－ax^2>0，即在區間(1/4a^2,a^2)上大於0即可，則有f(1/4a^2)>0，解得到a>1/32.

上述a的取值範圍取交集，則此時a的取值範圍為√2/2<a<1.

當a>1時，對數函數是增函數，所以二次函數y=8x－ax^2在區間(1/4a^2,a^2)是單調遞減的函數。

則有1/4a^2≥4/a，解得到a≤1/16.

因為8x－ax^2是對數的真數，則有8x－ax^2>0，即在區間(1/4a^2,a^2)大於0即可，則有f(a^2)>0，解得到a<8.

上述a的取值範圍取交集，則此時a的取值範圍為空集。

第三步，得出a的取值範圍。

分步討論是每一步都滿足條件，所以上述當√2/2<a<1和當a>1時，求的的a的取值範圍要取併集。

綜上所述，a的取值範圍為√2/2<a<1.

05總結

對於複合函數的題型：

先看區間，滿足區間有意義；

再看，複合函數是哪兩種函數的組成，先將滿足這兩個函數的條件列出來；

再次，根據函數同增異減的原則，以及根據題給出的單調性，分別說明這兩個函數的單調性，將這兩個函數單調性結合滿足上述題中的單調性。

最後列出不等式組。

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