原題
原題：已知函數f(x)=axlnx－x^2+2的圖像在點(1,1)處的切線方程為y=1.
⑴當x∈(0,2)時，證明：0<f(x)<2；
⑵設函數g(x)=xf(x)，當x∈(0,1)時，證明：0<g(x)<1；
⑶若數列｛an｝滿足a(n+1)=f(an)，0<a1<1，n∈N+，證明：lna1+lna2+lna3+…+lnan<0.
這道題前兩問證明的都是函數f(x)=axlnx－x^2+2的一些性質，而第三問卻是要證明數列的問題。
其實這道題主要是解決第三問的問題，之所以給出前兩問是為了將低第三問的難度，因為前兩問就是要求證第三問的步驟之一，還有一個原因就是考察數列的拓展，即怎樣將數列和函數結合起來，藉助函數的性質解決數列的問題。
所以要解決這道題，首先要將前兩問求證出來，然後再根據前兩問函數的性質將其應用在數列之中。
第一問
第一問是當x∈(0,2)時，證明：0<f(x)<2。
該第一問實際就是給出函數定義域，求值域的題，所以只要將函數表達式求解出來，對其求導，根據導數與0的大小關係得到該函數曲線的變化情況，然後根據該曲線的變化情況以及端點求出該函數的最大值和最小值，從而求出該函數的範圍。
第一步，求出函數f(x)的解析式。
因為函數f(x)=axlnx－x^2+2的圖像在點(1,1)處的切線方程為y=1，所以該函數的一次導數在x=1處的斜率為k=0，則有k=f＇(1)=0.
因為f(x)的一次導數為f＇(x)=alnx+a－2x，所以k=f＇(1)=a－2=0，所以a=2，所以該函數f(x)=2xlnx－x^2+2.
第二步，對函數f(x)求導，求出函數f(x)在x∈(0,2)上的變化情況。
函數f(x)的一次導數為f＇(x)=2lnx－2x+2，此時該一次導數無法判斷與0的大小關係，所以要從該函數的二次導數入手判斷該函數的一次導數與0的大小關係。
即該函數的二次導數為f＂(x)=2/x－2=2(1－x)/x，因為x>0，所以只需要考慮1－x與0的大小關係即可。
當0<x<1時，二次導數為f＂(x)>0，所以一次導數為f＇(x)此時是單調遞增的；當1<x<2時，二次導數為f＂(x)<0，所以一次導數為f＇(x)此時是單調遞減的。
所以一次導數為f＇(x)在區間(0,2)上是先增後減，所以在此區間存在最大值，即f＇(1)=0，所以一次導數為f＇(x)≤0在區間(0,2)上恆成立，所以該函數f(x)在區間（0,2）是單調遞減函數。
第三步，得出函數f(x)的範圍。
因為函數f(x)在區間（0,2）是單調遞減函數，所以當x趨近2時，該函數在該區間（0,2）上趨近最小值，即f(2)=4ln2－4+2=4ln2－2=ln16－lne^2=ln16/e^2>0，所以該函數f(x)>0。
當x趨近於0時，該函數在區間（0,2）上趨近最大值，但是當x=0時，ln0沒有意義，所以這裡不能直接將x=0代入函數f(x)得出的趨近值。
那怎麼辦呢？這裡需要構建一個不等式，將lnx換掉，即lnx≤x－1——這也是常用替換的不等式，可以記住！
證明：設h(x)=lnx－x+1，因為一次導數h＇(x)=1/x－1=(1－x)/x，所以當0<x<1時，h＇(x)>0，所以h(x)為增；當x>1時，h＇(x)<0，所以h(x)為減。所以h(x)的最大值為h(1)=0，所以h(x)≤0恆成立，所以有lnx≤x－1。
所以原函數f(x)=2xlnx－x^2+2≤2x(x－1)－x^2+2=x^2－2x+2=(x－1)^2+1<2。
綜上所述，當x∈(0,2)時，有0<f(x)<2。
第二問
第二問是設函數g(x)=xf(x)，當x∈(0,1)時，證明：0<g(x)<1.
同理，我們依然要先得到函數g(x)的函數得到表達式，然後對該函數進行求導，根據導數與0的大小關係判斷該函數在區間（0,1）的單調性，再根據函數的單調性和該函數的定義域得出該函數的值域的範圍。
第一步，求出g(x)的表達式。
因為f(x)=2xlnx－x^2+2，且g(x)=xf(x)，所以g(x)=2x^2lnx－x^3+2x。
第二步，對函數g(x)求導，判斷該函數的單調性。
函數g(x)的一次導數為g＇(x)=4xlnx－3x^2+2x+2=4xlnx－2x^2+4+(－x^2+2x－2)=2f(x)+(－x^2+2x－2)。
因為函數f(x)在區間（0,1）上是單調遞減，所以f(x)>f(1)=1，而－x^2+2x－2=－(x－1)－1∈(－2,－1)，所以g＇(x)=2f(x)+(－x^2+2x－2)>0，所以函數g(x)在區間(0,1)上是單調遞增的函數。
第三步，得出函數g(x)的在區間(0,1)上的值域。
所以當x取趨近1時，函數g(x)在區間(0,1)上是趨近最大值，所以g(x)<g(1)=1；
當x趨近0時，函數g(x)在區間(0,1)上趨近最小值，又因為當x∈(0,1)時，f(x)>1，所以g(x)=xf(x)>0。
綜上，當x∈(0,1)時，有0<g(x)<1。
第三問
第三問是若數列｛an｝滿足a(n+1)=f(an)，0<a1<1，n∈N+，證明：lna1+lna2+lna3+…+lnan<0.
將lna1+lna2+lna3+…+lnan<0變形得到0<a1·a2·a3·…·an<1，因為a(n+1)=f(an)，所以有a2=f(a1)，a3=f(a2)，a4=f(a3)，…，an=f(a(n－1))，a(n+1)=f(an)，所以再將其變形為0<a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－1)·f(a(n－1))<1。但是要注意：這樣的變形是需要數列的項數n為偶數時才成立。
因為a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－1)·f(a(n－1))是a1a2一組，a3a4一組，a5a6一組，…，即兩兩一組的形式出現的，所以當n為偶數時正好全部滿足函數g(x)的解析式的模式。
所以還要考慮當數列n為奇數項的時候，該lna1+lna2+lna3+…+lnan的變形，即當n為奇數項時，該數列的變形為0<a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－2)·f(a(n－2)·an<1
所以要想證lna1+lna2+lna3+…+lnan<0成立，只要證0<a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－1)·f(a(n－1))<1和0<a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－2)·f(a(n－2)·an<1即可。
而這裡「0<a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－1)·f(a(n－1))<1」它中的每一項，即a1·f(a1)、a3·f·(a3)、a5·f(a5)、…、a(n－1)·f(a(n－1))都是符合函數g(x)=xf(x)的模式，所以只需要證明數列an中的奇數項都在區間(0,1)內即滿足函數g(x)；
而0<a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－2)·f(a(n－2)·an)<1中除了每一項滿足函數g(x)=xf(x)的模式，還要有最後一項不滿足，所以還要求出最後一項的範圍。
因為函數f(x)的在區間(0,2)上是減函數，當函數f(x)在區間(0,1)上時有，1=f(1)<f(x)<2，所以函數f(x)在區間(0,1)上的值域為(1,2)；當函數f(x)在區間(1,2)上時有，0<f(2)<f(x)<f(1)=1，所以函數f(x)在區間(1,2)上的值域為(0,1)。
則有
當0<a1<1時，f(a1)的值域為(1,2)，因為a(n+1)=f(an)，所以a2=f(a1)，所以a2的範圍為(1,2)；
當1<a2<2時，f(a2)的值域為(0,1)，因為a(n+1)=f(an)，所以a3=f(a2)，所以a3的範圍為(0,1)；
當0<a3<1時，f(a3)的值域為（1,2），因為a(n+1)=f(an)，所以a4=f(a3)，所以a4的範圍為（1,2）；
當1<a4<2時，f(a4)的值域為（0,1），因為a(n+1)=f(an)，所以a5=f(a4)，所以a5的範圍為（0,1）；
…
綜上所述當數列an為偶數項時，其範圍為(1,2)；當數列an為奇數項時，其範圍為(0,1)。
當n為偶數時。
「0<a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－1)·f(a(n－1))<1」中每一項數列均屬於區間(0,1)，所以其中的每一組a1·f(a1)、a3·f·(a3)、a5·f(a5)、…、a(n－1)·f(a(n－1))都滿足函數g(x)的解析式，所以每一組a1·f(a1)、a3·f·(a3)、a5·f(a5)、…、a(n－1)·f(a(n－1))的範圍都是(0,1)，所以它們的乘積，即a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－1)·f(a(n－1))∈（0,1），即0<a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－1)·f(a(n－1))<1，0<a1·a2·a3·…·an<1；
當n為奇數時。
a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－2)·f(a(n－2)中的每一項數列都是屬於(0,1)的，所以a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－2)·f(a(n－2)中每一組數，即a1·f(a1)、a3·f·(a3)、a5·f(a5)、…、a(n－2)·f(a(n－2)都滿足函數g(x)的解析式，所以a1·f(a1)、a3·f·(a3)、a5·f(a5)、…、a(n－2)·f(a(n－2)它們的範圍都是屬於(0,1)，所以它們的乘積也是屬於(0,1)的，即a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－2)·f(a(n－2)∈（0,1）。
又因為n為奇數，所以an是奇數項，所以an的範圍屬於(0,1)，所以［a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－2)·f(a(n－2)］·an∈(0,1)，即0<a1·f(a1)·a3·f·(a3)·a5·f(a5)·…·a(n－2)·f(a(n－2)·an<1，0<a1·a2·a3·…·an<1.
綜上所述，若數列｛an｝滿足a(n+1)=f(an)，0<a1<1，n∈N+，則有lna1+lna2+lna3+…+lnan<0.
總結
數列的拓展就是將數列與函數結合，所以當題中給出的數列滿足某一函數的關係式時，需要知道該函數的一些性質，然後通過函數的一些性質來求證數列之間的一些關係。
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