01原題類型
已知函數f(x)的定義域為R，且滿足f(x+1)=－2f(x)，當x∈[0,1]時，f(x)=x(1－x)，則函數y=4f(x)－3在區間[0,5]上的零點個數為多少？
該題是屬於抽象函數，但是給出的抽象函數f(x+1)=－2f(x)，不滿足抽象函數的任何性質。
即該題給出的抽象函數的關係得不出該函數f(x)的周期性、得不到該函數的對稱軸、得不到該函數的中心對稱點。
這些與抽象函數有關的性質都和該題無關。
那這道題該怎麼解決呢？
下面就講解該題時詳細地說明。
02該類題型的解法
要想解決該題，得出函數f(x)的圖形是必不可少的。
那怎麼才能得到該函數f(x)的在區間[0,5]上的函數f(x)的圖形呢？
該題中給出了x在區間[0,1]上的解析式，即f(x)=x(1－x)。
所以我們在擴展函數的區間時就離不開該區間[0,1]。
首先將得出區間[1,2]的解析式和圖形：
思想就是將區間[1,2]抽象函數關係式化成區間[0,1]範圍上去。
因為f(x+1)=－2f(x)，則令x=x+1，則有f(x)=－2f(x－1).
當x∈[1,2]時，則(x－1)∈[0,1]，所以f(x－1)滿足區間[0,1]上的解析式。
即f(x)=－2(x－1)[1－(x－1)]=－2(x－1)(2－x)。
則區間[1,2]上的圖形是在區間[0,1]的基礎上向右平移了一個單位，又伸長了原來的2倍，且開口向下。
則函數f(x)在區間[1,2]的圖形為
其次得到區間[2,3]上函數f(x)的解析式和圖形：
當x∈區間[2,3]上時，則x－1∈[1,2]，設t=x－1，則f(t)=－2(t－1)(2－t)。
所以f(x－1)=－2(x－1－1)(2－x+1)=－2(x－2)(3－x)。
因為f(x)=－2f(x－1)，則f(x)=4(x－2)(3－x).
得出函數f(x)在區間[2,3]上的圖形為
得出規律：函數f(x)的區間每向右平移一個單位，則在函數f(x)=x(1－x)的基礎上，圖性對稱軸向右平移一個單位，開口方向該變一次，伸長了原來的二倍。
最後根據這些規律得出最後函數f(x)的圖形為：
得到函數f(x)的圖形後，需要將「y=4f(x)－3在區間[0,5]上的零點個數」轉化。
y=4f(x)－3在區間[0,5]上的零點個數轉化為f(x)=3/4的形式。
意義：函數f(x)與直線y=3/4交點的個數。
則在區間[0,5]的抽象函數f(x)圖性上做出直線y=3/4，看看有幾個交點即可。
如圖所示，在區間[0,5]上的函數f(x)與直線y=3/4交點的個數為4個。
綜上所述，函數y=4f(x)－3在區間[0,5]上的零點個數為4個。
03總結
上述給出的是一個三無的抽象函數，即無周期、無對稱軸、無中心對稱點，像這樣的抽象函數的解法就是找規律。
根據該抽象函數的規律將圖像不斷傳遞，得到該函數f(x)的圖形。
再需要注意：求一個函數的零點的問題時需要將其轉化成兩個函數有交點的問題來解決。
關於得到抽象函數解析式或者圖形的題型包括：
一是藉助周期性；
二是藉助軸對稱；
三是藉助中心對稱；
四藉助規律。
這四種形不斷的擴展所求的函數解析式或者圖形。
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