求抽象函數與絕對值函數交點橫坐標前n項和?重要知識點只說一次

原題

原題：已知函數f(x)（x∈R）滿足f(x+1)=f(3－x)，若函數y=|x－2|與y=f(x)的圖像的交點為(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，…，(xn,yn)，則x1+x2+x3+…+xn=？

圖一

這道題是抽象函數和絕對值函數相結合的題型，並且說明這兩個函數存在著n個交點，求交點橫坐標的前n項和？

硬算肯定不是辦法，並且兩個函數中交點的個數為n，並不知道到它具體的個數，甚至是奇數個還是有偶數個我們都不知道。

所以我們需要藉助這兩個函數所具有的性質來計算。

這兩個函數又具有哪些性質呢？

下面就講解題的過程中來詳細說明這兩個函數所具有的性質。

抽象函數所具有的性質

抽象函數是學習函數中比較難學和難理解的一個模塊，而函數就是高中數學非常重要的內容，所以對於抽象函數的性質我們要更加的熟悉。

那抽象函數都哪些性質呢？

第一，抽象函數可以有對稱性。

如果給出的抽象函數為f(a+x)=f(b－x)的形式，則該抽象函數具有軸對稱性，且對稱軸為x=(a+b)/2.

如果給出的抽象函數為f(a+x)+f(b－x)=c的形式，則抽象函數具有中心對稱性，且中心對稱點為[(a+b)/2,c/2]。

第二，抽象函數可以有周期性。

如果給出的抽象函數為f(x+a)=f(x)、f(x+a)=－f(x)、f(x+a)=1/f(x)、f(x+a)=－1/f(x)、f(x+a)=f(x+b)時，函數f(x)具有周期性，一個周期分別為T=|a|、2|a|、2|a|、2|a|、|a－b|。

由上述的對稱性可知，函數f(x)滿足f(x+1)=f(3－x)，實則是告訴我們函數f(x)是軸對稱圖形，且對稱軸為x=2.

絕對值函數的性質

帶有絕對值的函數，可以藉助圖形得到函數去掉絕對值函數的解析式，也可以根據絕對值為正數或者0的情況加減負號得到去掉絕對值的函數解析式。

這裡通過圖形的方法來得到該絕對值函數的圖形：

該函數y=|x－2|是直線y=x－2的圖形在y值為負數的時候根據x軸對稱得到的圖形。

圖二

如圖二所示，絕對值函數的性質：是軸對稱圖形，一定有自己對稱軸。

該絕對值函數的對稱軸為x=2.

該題的解法

這裡注意一個知識點：所有對稱函數上的點都有根據對稱軸對稱的對稱點（除對稱軸上的點外），該點和對稱點的橫坐標之和等於該對稱軸的二倍。

因為兩個函數，即抽象函數和絕對值函數對稱軸都是x=2，則它們的交點的橫坐標之和也應該是兩兩對稱的，除對稱軸上的點除外。

所以這裡的橫坐標之和x1+x2+x3+…+xn應該是除了對稱軸上的橫坐標外，都應該是兩兩對稱的，即這兩個橫坐標的和等於2×2=4。

但是這裡還要注意一點：對於抽象函數f(x)和絕對值函數y=|x－2|的交點到底有沒有在它們的對稱軸上是未知的。

該題需要分步說明。

第一步，當抽象函數f(x)和絕對值函數y=|x－2|的這些交點中沒有交點在對稱軸上時，得出所有交點的橫坐標之和。

根據兩個函數都根據對稱軸x=2對稱，且它們的交點都不在對稱軸上，則有該交點的個數為偶數個，即n為偶數。

此時x1+x2+x3+…+xn=n/2×2×2=2n。

第二步，當抽象函數f(x)和絕對值函數y=|x－2|的這些交點中有交點在對稱軸上時，得出所有交點的橫坐標之和。

根據兩個函數都根據對稱軸x=2對稱，且它們的有交點在對稱軸上，則該交點的個數為奇數個，即n為奇數。

此時x1+x2+x3+…+xn=(n－1)/2×2×2+2=2n。

綜上所述，x1+x2+x3+…+xn=2n。

總結

該題解題的關鍵在於充分的理解函數的對稱性，即對稱函數上的點和對稱點之和等於對稱軸的二倍，對稱軸上的點除外。

還需要注意的就是要考慮兩個都關於x=2對稱的圖形可能存在交點在對稱軸上的情況，所以要分開說明情況。

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