知識定位
本節主要內容有運用函數的有關定義、概念，解析式，圖像畫法、圖像平移，配方、頂點式、對稱性，開口方向，對稱軸兩邊，圖像變化等性質解決函數自身的問題，二次函數也一直都是高考和高中聯賽一試的重要內容之一.本節我們通過一些實例的求解，旨在介紹數學競賽中與二次函數相關問題的常見題型及其求解方法本講將通過例題來說明這些方法的運用。
知識梳理
1、 二次函數的分類
頂點式：y=ax2，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k，
兩點式：y=a(x-x1`)(x-x2)
一般式：y=ax2+bx+c （各式中，a≠0）
2、 二次函數圖像的性質
1）二次函數y=ax2，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k，y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
（1） 當h>0時，y=a（x-h）2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到，
（2） 當h<0時，則向左平行移動│h│個單位得到．
（3） 當h>0，k>0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a（x-h）2+k的圖象；
（4） 當h>0，k<0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向下移動│k│個單位可得到y=a（x-h）2+k的圖象；
（5） 當h<0，k>0時，將拋物線y=ax2向左平行移動│h│個單位，再向上移動k個單位可得到y=a（x-h）2+k的圖象；
（6） 當h<0，k<0時，將拋物線y=ax2向左平行移動│h│個，再向下移動│k│個單位可得到y=a（x-h）2+k的圖象；
因此，研究拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，通過配方，將一般式化為y=a（x-h）2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象：
當a>0時，開口向上，
當a<0時，開口向下，
對稱軸是直線x=-，頂點坐標是（-，）．
3）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）：
若a>0，當x≤-時，y隨x的增大而減小；當x≥-時，y隨x的增大而增大．
若a<0，當x≤-時，y隨x的增大而增大；當x≥-時，y隨x的增大而減小． 4）拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
（1）圖象與y軸一定相交，交點坐標為（0，c）；
（2）當△=b2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A（x1，0）和B（x2，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根．這兩點間的距離AB=│x1-x2│=．
當△=0，圖象與x軸只有一個交點；
當△<0，圖象與x軸沒有交點．
當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數，都有y>0；
當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
3、用待定係數法求二次函數的解析式
（1）當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）．
（2）當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0）．
（3）當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）．
例題精講
【試題來源】2006年全國初中數學競賽（浙江賽區）初賽試題
【題目】作拋物線A關於x軸對稱的拋物線B，再將拋物線B向左平移2個單位，向上平移1個單位，得到的拋物線C的函數解析式是y=2（x+1）2-1，則拋物線A所對應的函數表達式是下列（ ）
（A）y=-2（x+3）2-2; （B）y=-2（x+3）2+2;
（C）y=-2（x-1）2-2; （D）y=-2（x-1）2+2
【答案】D
【解析】 解：將拋物線C再變回到拋物線A：即將拋物線y=2（x+1）2-1
向下平移1個單位，再向右平移2個單位，得到拋物線y=2（x-1）2-2，
而拋物線y=2（x-1）2-2關於x軸對稱的拋物線是y=-2（x-1）2+2．
評註：拋物線的平移主要抓住頂點坐標的變化，需要注意的是通常要將二次函數解析式化為頂點式，且平移時二次項係數不變．
【知識點】二次函數
【適用場合】當堂例題
【難度係數】2
【試題來源】2006年全國初中數學競賽（海南賽區）
【題目】根據下列表格的對應值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）一個解x的範圍是（ ）
（A）3<x<3.23 （B）3.23<x<3.24
（C）3.24<x<3.25 （D）3.25<x<3.26
【答案】C
【解析】 解：觀察表格知，隨x（x>0）的增大，二次函數y=ax2+bx+c的值由負到正．而：
當x取3.24時，ax2+bx+c=-0.02是負數；
當x取3.25時，ax2+bx+c=0.03是正數．
所以可以推知借於3.24和3.25之間的某一x值，必然使ax2+bx+c=0．
評註：本題利用方程的解就是它對應的函數圖象與x軸的交點，以此估計一元二次方程的一個解的大致範圍．它以表格才形式提出了部分信息，考查了學生合情推理的能力．解題關鍵是觀察表格的對應值．
【知識點】二次函數
【適用場合】當堂練習
【難度係數】3
【試題來源】2006年蕪湖市鳩江區初中數學競賽試題
【題目】函數y=ax2+bx+c圖象的大致位置如右圖所示，則ab，bc，2a+b，（a+c）2-b2，（a+b）2-c2，b2-a2等代數式的值中，正數有（ ）
（A）2個 （B）3個 （C）4個 （D）5個
【答案】A
【解析】 解：顯然，a<0，c<0，b>0，由-<1，
得b<-2a，所以2a+b<0；
由a-b+c<0得（a+c）2-b2=（a+b+c）（a-b+c）<0；
由a+b+c>0得a+b>-c>0，因此
（a+b）2-c2>0，│b│>│a│，b2-a2>0．
綜上所述，僅有（a+b）2-c2，b2-a2為正數．
評註：二次函數y=ax2+bx+c中有關字母係數a、b、c的代數式符號確定，是競賽熱點問題，解題時，要抓住拋物線開口方向、對稱軸、與x軸交點情況綜合考慮．
【知識點】二次函數
【適用場合】當堂例題
【難度係數】3
【試題來源】2006年蕪湖市鳩江區初中數學競賽試題
【題目】若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（0，1）和（-1，0）則S=a+b+c的值的變化範圍是__________．
【答案】0<S<2
【解析】 解：將（0，1），（-1，0）代入y=ax2+bx+c得
∴S=a+b+c=2b．
∵二次函數y=ax2+bx+c頂點在第一象限，
∴->0，又a=b-1，
∴->0，即2b（b-1）<0．
∴0<b<1，即0<S<2
【知識點】二次函數
【適用場合】當堂練習題
【難度係數】3
【試題來源】1993年江蘇初中數學競賽試題
【題目】已知是兩位數，二次函數y=x2+mx+n的圖象與x軸交於不同的兩點，這兩點間距離不超過2．
（1）求證：0<m2-4n≤4；
（2）求出所有這樣的兩位數．
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）設y=x2+mx+n的圖象與x軸的兩交點為A（x1，0），B（x2，0），x1≠x2．
則x1，x2為方程x2+mx+n=0的兩個不同實根．
∴x1+x2=-m，x1·x2=n．
又0<│x1-x2│≤2， 即0<（x1+x2）2-4x1x2≤4，
也即0<m2-4n≤4；
（2）∵m，n為整數（m≠0），
∴m2-4n=1，2，3，4，而m2被4除餘0或1，故m2-4n被4除也餘0或1，
從而只能有m2-4n=1或m2-4n=4．
解這兩個不定方程，得：
∴所求兩位數為10，32，56，20，43，68．
評註：一元二次函數y=ax2+bx+c與x軸兩交點的橫坐標即是方程ax2+bx+c=0的兩根，利用韋達定理即可求解．
【知識點】二次函數
【適用場合】當堂例題
【難度係數】4
【試題來源】1997年天津市初中數學競賽試題
【題目】已知函數y=x2-│x│-12的圖象與x軸交於相異兩點A，B，另一拋物線y=ax2+bx+c過點A，B，頂點為P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c．
【答案】a=-，b=0，c=4
【解析】 解：考試方程x2-│x│-12=0，
當x>0時，x2-x-12=0，解得x1=4，x2=-3（捨去）；
當x<0時，x2+x-12=0，解得x1=-4，x2=3（捨去）．
∴A、B兩點的坐標是（4，0），（-4，0）．
∵y=ax2+bx+c過A、B兩點，即過（4，0），（-4，0），
∴可設y=ax2+bx+c為y=a（x-4）（x+4）
∵△APB為等腰直角三角形，而A、B為頂點，
∴AB可為斜邊，也可為直角邊．
當AB為斜邊，求得P點坐標為（0，4）或（0，-4）；當AB為直角邊時，這種情況不滿足題設條件．
所以將P（0，4）代入①得a=，則①變為
y=-（x2-16）=-x2+4，
故有a=-，b=0，c=4．
將P（0，-4）代入①得a=，則①變為
y=（x2-16）=x2-4，
故有a=，b=0，c=-4．
評註：求符合某種條件的點的坐標，需根據問題中的數量關係和幾何元素間的關係建立關於縱橫坐標的方程（組），解方程（組）便可以求得有關點的坐標，對於幾何問題，還應注意圖形的分類討論．
【知識點】二次函數
【適用場合】當堂練習題
【難度係數】4
【試題來源】2006年全國初中數學競賽（海南賽區）
【題目】已知A1、A2、A3是拋物線y=x2上的三點，A1B1、A2B2、A3B3分別垂直於x軸，垂足為B1、B2、B3，直線A2B2交線段A1A3於點C．
（1）如圖（a），若A1、A2、A3三點的橫坐標依次為1、2、3，求線段CA2的長；
（2）如圖（b），若將拋物線y=x2改為拋物線y=x2-x+1，A1、A2、A3三點的橫坐標為連續整數，其他條件不變，求線段CA2的長；
（3）若將拋物線y=x2改為拋物線y=ax2+bx+c，A1、A2、A3三點的橫坐標為連續整數，其他條件不變，請猜想線段CA2的長（用a、b、c表示，並直接寫出答案）．
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）方法1：
∵A1、A2、A3三點的橫坐標依次為1、2、3，
∴A1B1=×12=，A2B2=×22=2，A3B3=×32=．
設直線A1A3的解析式為y=kx+b．
∴
∴直線A1A3的解析式為y=2x-．
∴CB2=2×2-=．
∴CA2=CB2-A2B2=-2=．
方法2：
∵A1、A2、A3三點的橫坐標依次為1、2、3，
∴A1B1=×12=，A2B2=×22=2，A3B3=×32=．
由已知可得A1B1∥A3B3，
∴CB2=（A1B1+A3B3）=（+）=．
∴CA2=CB2-A2B2=-2=．
（2）方法1：
設A1、A2、A3三點的橫坐標依次為n-1、n、n+1．
則A1B1=（n-1）2-（n-1）+1，
A2B2=n2-n+1，A3B3=（n+1）2-（n+1）+1．
設直線A1A3的解析式為y=kx+b．
∴ 解得
∴直線A1A3的解析式為y=（n-1）x-n2+．
∴CB2=n（n-1）-n2+=n2-n+
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-n2+n-1=．
方法2：
設A1、A2、A3三點的橫坐標依次為n-1、n、n+1．
則A1B1=（n-1）2-（n-1）+1，
A2B2=n2-n+1，
A3B3=（n+1）2-（n+1）+1
由已知可得A1B1∥A3B3，
∴CB2=（A1B1+A3B3）
= [（n-1）2-（n-1）+1+（n+1）2-（n+1）+1]
= n2-n+．
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-（n2+n-1）=．
（3）當a>0時，CA2=a；
當a<0時，CA2=-a．
評註：本題強調從「知識立意」向「能力立意」轉變的課程理念，重視基礎與能力並重，突出了「觀察、猜想、探究」等方面的考查，具有明顯層次性，滲透了數形結合的思想方法．同時，本題還給擅長不同思維方式的學生提供了不同的解題思路．
【知識點】二次函數
【適用場合】當堂例題
【難度係數】4
【試題來源】
【題目】設拋物線C的解析式為y=x2-2kx+（+k）k，k為實數．
（1）求拋物線的頂點坐標和對稱軸方程（用k表示）；
（2）任意給定k的三個不同實數值，請寫出三個對應的頂點坐標，試說明當k變化時，拋物線C的頂點在一條定直線L上，求出直線L的解析式並畫出圖象；
（3）在第一象限有任意兩圓O1、O2相外切，且都與x軸和（2）中的直線L相切，設兩圓在x軸上的切點分別為A、B（OA<OB），試問：是否為一定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
（4）已知一直線L1與拋物線C中任意一條都相截，且截得的線段長都為6，求這條直線的解析式．
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）配方，得y=（x-k）2+k，
∴頂點坐標為（k，k），對稱軸為x=k．
（2）設頂點為（x，y），則x=k，y=k消去k得直線L的解析式為y=x，
如圖（a）所示，令k=1，2，3得三個對應頂點坐標為（1，），（2，2），（3，3）．
（3）在y=x上任取一點（a，a），設直線與x軸成角為a（0°<a<90°），
則tana==，
∴a=60°，由切線長定理可知，OO1平分∠a，
∴∠O1OA=30°，如圖（a）所示，
即O1O=2O1A，OO2=2O2B，
又OO2-OO1=O1O2=O1A+O2B=2（O2B-O1A）
∴O1A：O2B=1：3．
又，∴=，即為一定值．
（4）如圖（b）要使該直線與拋物線C中任意一條相截且截得線段長都為6，
則該直線必平行於y=x．設其為y=x+b，
考慮其與y=x2相交，則：
即x2-x-b≥0，設此方程兩根為xA，xB．
又│BC│=[│AB│]2=32，
9=│xA-xB│2=（xA+xB）2-4xAxB=3+4b，
∴b=，即L1為y=x+．
評註：（2）中消去參數k求x、y的函數關係應掌握；（4）拋物線C的頂點軌跡為直線y=x，若直線L1與拋物線截得的線段等長，則L1必與y=x平行，在利用截線段長為6時，只須考慮一種最簡單的解析式y=x2與y=x的聯立方程組即可．
【知識點】二次函數
【適用場合】當堂練習題
【難度係數】5
【試題來源】
【題目】已知：拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個交點為A（-1，0）．
（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；
（3）E是第二象限內到x軸、y軸的距離的比為5：2的點，如果點E在（2）中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△APE的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）依題意，拋物線的對稱軸為y=x-2．
∵拋物線與x軸的一個交點為A（-1，0），
∴由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（-3，0）．
（2）∵拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個交點為A（-1，0），
∴a（-1）2+4a（-1）+t=0，∴t=3a．
∴y=ax2+4ax+3a．
∴D（0，3a）．
∵梯形ABCD中，AB∥CD，且點C在拋物線y=ax2+4ax+3a上，
∴C（-4，3a），∴AB=2，CD=4，
∵梯形ABCD的面積為9，
∴（AB+CD）·OD=9．
∴（2+4）│3a│=9，∴a=±1．
∴所求拋物線的解析式為y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3．
（3）設點E坐標為（x0，y0），依題意x0<0，y0>0，且=．
∴y=-．
① 點E在拋物線y=x2+4x+3上，∴y0=x02+4x0+3．
② 解方程組∴
∵點E與點A在對稱軸x=-2的同側，
∴點E坐標為（-，），
設在拋物線的對稱軸x=-2上存在一點P，使△APE的周長最小．
∵AE長為定值，
∴要使△APE的周長最小，只須PA+PE最小．
∵點A關於對稱軸x=-2的對稱點是B（-3，0），
∴幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x=-2的交點．
設過點E、B的直線的解析式為y=mx+n，
∴
∴直線BE的解析式為y=x+，把x=-2代入上式，得y=，
∴點P坐標為（-2，-）．
③ 點E在拋物線y=-x2-4x-3上，
④ ∴y0=-x02-4x0-3．解方程
消去y0，得x02+x0+3=0，
∴△<0，∴此方程無實數根．
綜上．在拋物線的對稱軸上存在點P（-2，），使△APE的周長最小．
【知識點】二次函數
【適用場合】當堂例題
【難度係數】5
【試題來源】
【題目】如圖，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點P、Q同時從原點出發，分別坐勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．
（1）求出直線OC的解析式及經過O、A、C三點的拋物線的解析式．
（2）試在（1）中的拋物線上找一點D，使得以O、A、D為頂點的三角形與△AOC全等，請直接寫出點D的坐標．
（3）設從出發起，運動了t秒，如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標，並寫出此時t的取值範圍．
（4）設從出發起，運動了t秒，當P、Q兩點運動的路程之和恰好等於梯形OABC的周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出t的值；如不可能，請說明理由．
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）∵O，C兩點的坐標分別為O（0，0），C（8，6），
設OC的解析式為y=kx+b，將兩點坐標代入得：k=，b=0，
∴y=x．
∵拋物線過O，A，C三點，這三點的坐標為O（0，0），A（18，0），C（8，6）．
∵A，O是x軸上兩點，故可設拋物線的解析式為y=a（x-0）（x-18）．
再將C（8，6）代入得：a=-．
∴y=-x2+x．
（2）D（10，6）．
（3）當Q在OC上運動時，可設Q（m，m），
依題意有：m2+（m）2=（2t）2，
∴m=t，∴Q（t，t），（0≤t≤5）．
當Q在CB上時，Q點所走過的路程為2t．
∵OC=10，∴CQ=2t-10，
∴Q點的橫坐標為2t-10+8=2t-2．
∴Q（2t-2，6），（5<t≤10）．
（4）∵梯形OABC的周長為44，當Q點在OC上時，P運動的路程為t，
則Q運動的路程為（22-t）．△OPQ中，OP邊上的高為：（22-t）×．
∴S△OPQ=t（22-t）×，
S梯形OABC=（18+10）×6=84．
依題意有：t（22-t）×=84×．整理得：t2-22t+140=0．
∵△=222-4×140<0，
∴這樣的t不存在．
當Q在BC上時，Q走過的路程為22-t，
∴CQ的長為：22-t-10=12-t，
∴S梯形OCQP=×6（22-t-10+t）=36≠84×．
∴這樣的t值也不存在．
綜上所述，不存在這樣的t值，使得P、Q兩點同時平分梯形的周長和面積．
【知識點】二次函數
【適用場合】當堂練習題
【難度係數】4
【試題來源】
【題目】已知拋物線經過O(0,0)，A(4,0),B(3,)三點，連結AB，過點B作BC∥軸交該拋物線於點C.
（1） 求這條拋物線的函數關係式.
（2） 兩個動點P、Q分別從O、A兩點同時出發,以每秒1個單位長度的速度運動. 其中，點P沿著線段0A向A點運動，點Q沿著折線A→B→C的路線向C點運動. 設這兩個動點運動的時間為（秒) (0＜＜4)，△PQA的面積記為S.
① 求S與的函數關係式；
② 當為何值時，S有最大值，最大值是多少？並指出此時△PQA的形狀；
③ 是否存在這樣的值，使得△PQA是直角三角形?若存在，請直接寫出此時P、Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】如下解析
【解析】解：（1）∵ 拋物線經過O(0,0)，A(4,0),B(3,)，
∴
解得 .
∴ 所求拋物線的函數關係式為.
（2）① 過點B作BE⊥軸於E，
則BE=，AE=1，AB=2.
由tan∠BAE=，得∠BAE =60°.
（ⅰ）當點Q在線段AB上運動，即0＜≤2時，QA=t，PA=4-.
過點Q作QF⊥軸於F，則QF=，
∴ S=PA·QF
.
（ⅱ）當點Q在線段BC上運動，即2≤＜4時，Q點的縱坐標為，PA=4-.
這時，S=.
②（ⅰ）當0＜≤2時，
.
∵ ，∴ 當=2時，S有最大值，最大值S=.
（ⅱ）當2≤＜4時，
∵ ，
∴ S隨著的增大而減小.
∴ 當=2時，S有最大值，最大值.
綜合（ⅰ）（ⅱ），當=2時，S有最大值，最大值為.
所以△PQA是等邊三角形.
③ 存在.
當點Q在線段AB上運動時，要使得△PQA是直角三角形，必須使得∠PQA =90°，這時PA=2QA，即4-=2，
∴ .
∴ P、Q兩點的坐標分別為P1(,0)，Q1(,).
當點Q在線段BC上運動時，Q、P兩點的橫坐標分別為5-和，要使得△PQA是直角三角形，則必須5-=，
∴
∴ P、Q兩點的坐標分別為P2(,0)，Q2(,).
【知識點】二次函數
【適用場合】當堂例題
【難度係數】5
【試題來源】
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，⊙A與x軸相交於C（﹣2，0），D（﹣8，0）兩點，與y軸相切於點B（0，4）．
（1）求經過B，C，D三點的拋物線的函數表達式；
（2）設拋物線的頂點為E，證明：直線CE與⊙A相切；
（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點F，使△BDF面積最大，最大值是多少？並求出點F的坐標．
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，
把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得：
，
解得．
∴經過B，C，D三點的拋物線的函數表達式為：y=x2+x+4；
（2）∵y=x2+x+4=（x+5）2﹣，
∴E（﹣5，﹣），
設直線CE的函數解析式為y=mx+n，
直線CE與y軸交於點G，則，
解得．
∴y=x+，
在y=x+中，令x=0，y=，
∴G（0，），
如圖1，連接AB，AC，AG，
則BG=OB﹣OG=4﹣=，
CG===，
∴BG=CG，AB=AC，
在△ABG與△ACG中，
，
∴△ABG≌△ACG，
∴∠ACG=∠ABG，
∵⊙A與y軸相切於點B（0，4），
∴∠ABG=90°，
∴∠ACG=∠ABG=90°
∵點C在⊙A上，
∴直線CE與⊙A相切；
（3）存在點F，使△BDF面積最大，
如圖2連接BD，BF，DF，設F（t，t2+t+4），
過F作FN∥y軸交BD於點N，
設直線BD的解析式為y=kx+d，則，
解得．
∴直線BD的解析式為y=x+4，
∴點N的坐標為（t，t+4），
∴FN=t+4﹣（t2+t+4）=﹣t2﹣2t，
∴S△DBF=S△DNF+S△BNF
=ODFN=（﹣t2﹣2t）
=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，
∴當t=﹣4時，S△BDF最大，最大值是16，
當t=﹣4時，t2+t+4=﹣2，
∴F（﹣4，﹣2）．
點評：本題考查了待定係數法求函數的解析式，全等三角形的判定和性質，切線的判定，三角形面積的求法，勾股定理，根據題意正確的畫出圖形是解題的關鍵．
【知識點】二次函數
【適用場合】當堂例題
【難度係數】5
習題演練
【試題來源】2005年全國初中數學競賽試題
【題目】Rt△ABC的三個頂點A，B，C均在拋物線y=x2上，並且斜邊AB平行於x軸．若斜邊上的高為h，則（ ）
（A）h<1 （B）h=1 （C）1<h<2 （D）h>2
【答案】B
【解析】 解：設點A的坐標為（a，a2），點C的坐標為（c，c2）（│c│<│a│），
則點B的坐標為（-a，a2），由勾股定理，得AC2=（c-a）2+（c2-a2）2．
BC2=（c+a）2+（c2-a2）2，AC2+BC2=AB2，
所以（a2-c2）2=a2-c2．
由於a2>c2，所以a2-c2=1，
故斜邊AB上高h=a2-c2=1．
評註：本題滲透數形結合思想，通過將代數與幾何有機結合一起，考查學生綜合應用數學知識解決問題的能力．
【知識點】二次函數
【適用場合】隨堂課後練習
【難度係數】3
【試題來源】2004年河北省初中數學創新與知識應用競賽決賽試題
【題目】通過實驗研究，專家們發現：初中學生聽課的注意力指標數是隨著老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間，學生的興趣保持平衡的狀態，隨後開始分散．學生注意力指標數y隨時間x（分鐘）變化的函數圖象如圖所示（y越大表示學生注意力越集中）．當0≤x≤10時，圖象是拋物線的一部分，當10≤x≤20和20≤x≤40時，圖象是線段．
（1）當0≤x≤10時，求注意力指標數y與時間x的函數關係式；
（2）一道數學競賽題需要講解24分鐘．問老師能否經過適當安排，使學生在聽這道題時，注意力的指標數都不低於36．
【答案】（1）y=-x2+x+20，0≤x≤10；
（2）師可以經過適當的安排，在學生注意力指標數不低於36時，講授完這道競賽題．
【解析】 分析：①由點（0，20），（5，39），（10，48），可求出拋物線的函數關係式，②分別求出指標數是36的各段函數中的自變量的值．
解：（1）當0≤x≤10時，設拋物線的函數關係式為y=ax+bx+c，
由於它的圖象經過點（0，20），（5，39），（10，48），
所以
解得a=-，b=，c=20．
所以y=-x2+x+20，0≤x≤10．
（2）當20≤x≤40時，y=-x+76．
所以，當0≤x≤10時，令y=36，得36=-x2+x+20，
解得x=4，x=20（捨去）；
當20≤x≤40時，令y=36，得36=-x+76，
解得x==28．
因為28-4=24>24，
所以，老師可以經過適當的安排，在學生注意力指標數不低於36時，講授完這道競賽題．
評註：本題情景新穎，關注了考生的學習、生活，既考查了學生基礎知識和閱讀理解能力，又考查了考生利用所學知識解決實際問題能力．
【知識點】二次函數
【適用場合】隨堂課後練習
【難度係數】4
【試題來源】2005年全國初中數學競賽浙江賽區試題
【題目】直角坐標系中，拋物線y=x2+mx-m2（m>0）與x軸交於A，B兩點，若A，B兩點到原點的距離分別為OA，OB，且滿足=，則m的值等於_______．
【答案】2
【解析】 解：設方程x2+mx-m2=0的兩根分別x1，x2，且x1<x2，
則有x1+x2=-m<0，x1x2=-m2<0，
所以x1<0，x2>0，
由=，可知OA>OB，又m>0，
所以拋物線的對稱軸y軸的左側，於是OA=│x1│=-x1，OB=x2．
所以=，=，
故=，
解得m=2．
【知識點】二次函數
【適用場合】隨堂課後練習
【難度係數】4
【試題來源】
【題目】拋物線y=ax2+bx+c交x軸於A，B兩點，交y軸於點C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求二次函數y=ax2+bx+c的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點距離之差最大？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）平行於x軸的一條直線交拋物線於M、N兩點，若以MN為直徑的圓恰好與x軸相切，求此圓的半徑．
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）將C（0，-3）代入y=ax2+bx+c，得c=-3，
將c=-3，B（3，0）代入y=ax2+bx+c，得9a+3b+c=0．
∵x=1是對稱軸，
∴-=-1．（2）．
將（2）代入（1）得a=1，b=-2．
所以二次函數得解析式是y=x2-2x-3．
（2）AC與對稱軸的交點P即為到B、C的距離之差最大的點．
∵ C點的坐標為（0，-3），A點的坐標為（-1，0）．
∴直線AC的解析式是y=-3x-3，又對稱軸為x=1，
∴點P的坐標（1，-6）．
（3）設M（x1，y），N（x2，y），所求圓的半徑為r，則x2-x1=2r，（1）
∵對稱軸為x=1，∴x2+x1=2．（2）
由（1）、（2）得：x2=r+1． （3）
將N（r+1，y）將代入解析式y=x2-2x-3，
得y=（r+1）2-2（r+1）-3，（4）
整理得：y=r2-4．由於r=±y，當y>0時，r2-r-4=0，
解得r1=，r2=（捨去），
當y<0時，r2+r-4=0，解得r1=，r2=（捨去），
所以圓的半徑是或．
【知識點】二次函數
【適用場合】隨堂課後練習
【難度係數】5
【試題來源】
【題目】如圖，已知點D在雙曲線y=（x＞0）的圖象上，以D為圓心的⊙D與y軸相切於點C（0，4），與x軸交於A，B兩點，拋物線y=ax2+bx+c經過A，B，C三點，點P是拋物線上的動點，且線段AP與BC所在直線有交點Q．
（1）寫出點D的坐標並求出拋物線的解析式；
（2）證明∠ACO=∠OBC；
（3）探究是否存在點P，使點Q為線段AP的四等分點？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）∵以D為圓心的⊙D與y軸相切於點C（0，4），
∴點D的縱坐標是4，
又∵點D在雙曲線y=（x＞0）的圖象上，
∴4=，
解得x=5，
故點D的坐標是（5，4）．
如圖1，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，連接AD，BD，
在RT△DAE中，DA=5，DE=4，
∴AE==3，
∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，
∴A（2，0），B（8，0），
設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x﹣8），由於它過點C（0，4），
∴a（0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=，
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x+4．
（2）如圖2，連接AC，
在RT△AOC中，OA=2，CO=4，
∴tan∠ACO==，
在RT△BOC中，OB=8，CO=4，
∴tan∠CBO==，
∴∠ACO=∠CBO．
（3）∵B（8，0），C（0，4），
∴直線BC的解析式為y=﹣x+4，
如圖3，分別過點Q，P作QF⊥x軸，PG⊥x軸，垂足分別為F，G，
設P（t，t2﹣t+4），
①AQ：AP=1：4，則易得Q（，），
∵點Q在直線y=﹣x+4上，
∴﹣+4=，
整理得t2﹣8t﹣36=0，
解得t1=4+2，t2=4﹣2，
∴P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），
②AQ：AP=2：4，則易得Q（，），
∵點Q在直線y=﹣x+4上，
∴﹣+4=，
整理得t2﹣8t﹣12=0，
解得P3=4+2，P4=4﹣2，
∴P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；
③AQ：AP=3：4，則易得Q（，），
∵點Q在直線y=﹣x+4上，
∴﹣+4=，
整理得t2﹣8t﹣4=0，
解得t5=4+2，t6=4﹣2，
∴P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+），
綜上所述，拋物線上存在六個點P，使Q為線段AP的三等分點，
其坐標分別為：P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）．
點評：本題主要考查了二次函數的綜合題，涉及雙曲線，一次函數，三角函數及二次函數的知識，解題的關鍵是分三種情況討論求解．
【知識點】二次函數
【適用場合】隨堂課後練習
【難度係數】5