積分思想
把複雜問題簡單化
我們都知道圓的面積和周長，那麼你會求球的體積和表面積麼？今天小編和大家分享一種巧妙求解球的體積和表面積的方法！
什麼是球體？
圖1
(1) 從集合角度下的定義:在空間中到定點的距離等於或小於定長的點的集合叫做球體，簡稱球。
（2）從旋轉的角度下的定義：如圖1，半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做球體，簡稱球。
什麼是祖𣈶原理？
祖𣈶原理也稱祖氏原理，一個涉及幾何求積的著名命題。
祖𣈶在求球體積時，使用一個原理：「冪勢既同，則積不容異」。
圖2
如圖2，「冪」是截面積，「勢」是立體的高。意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等。
更詳細點說就是，如圖3，界於兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行於這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等。上述原理在中國被稱為祖𣈶(geng)原理，國外則一般稱之為卡瓦列利原理。
圖3
如何求球體的體積？
如圖4，左邊半徑為R的半球和右邊圓柱體去掉圓錐的缽體，兩個圖形的高都是R,它們的體積有什麼關係呢？
圖4
根據祖𣈶原理可知，即使立體圖形的形狀不同，但如果所有截面的面積總是相等，那麼這兩個立體圖形的體積也相等。
圖5
為了驗證截面面積是否相等，我們可以把兩個圖形切割成高為L的立體圖形。
由（1）知：S1=πr^2=π(R^2-L^2)
由（2）知：∠OO』B=45°，故OB=OO』=L
S2=πR^2-πL^2=S1
因此，我們根據祖𣈶原理可知半球的體積等於缽體的體積。
V缽體=V圓柱—V圓錐
=πR^2×R—1/3πR^2×R=2/3πR^3
因為半球的體積等於缽體的體積，故球的體積等於缽體體積的2倍。
V球=2V缽體=2=4/3πR^3
有同學可能會問圓錐的體積怎麼求呢？
我們可以先求四稜錐的體積。我們可以把立方體分成3個形狀相同的四稜錐，故它們的體積都等於原正方體的1/3。
圖6
根據祖𣈶原理我們可以得出：V四稜錐=1/3×底面積×高
那麼圓錐的體積怎麼計算呢？
我們可以在圓錐底面分割出小四邊形。依照這種方法，圓錐就可以看作許多四稜錐聚集組合成的圖形。
圖7
我們假設小四稜錐的底面積為ΔS，,則小四稜錐的體積為
V小四稜錐=1/3×ΔS×高
圓錐的體積等於所有這些極小的四稜錐的體積和，則
V圓錐=1/3×底面積×高
如何求球體的表面積？
我們已經推導出球的體積V=4/3πR^3，那麼如何可以利用球的體積推出球的表面積S呢？
圖8
我們把球看作纖細四稜錐的組合，假設球的表面積為S,半徑為r,小四稜錐底面面積為ΔS，高近似為r，則
V小四稜錐=1/3×ΔS×r
則球的體積等於所有小四稜錐的體積和，即
V=4/3πr^3=1/3×r×（ΔS+ΔS+...)=1/3×r×S
則S=4πr^2
小結與思考
總結：以上分割求和的方法就是積分的思想，積分法存在的意義在於測量長度、面積和體積。相比「糾結於細節」，「如何思考才能順利計算」更加優先。
互動思考：已知圓的面積S=πr^2,如何運用積分的思想來求圓的周長？PS:你還有哪些方法求球的體積和表面積？
參考文獻：
1、《簡單微積分》神永正博，人民郵電出版社，2019
2、《數學辭海》編輯委員會，中國科學技術出版社，2002
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