阿基米德求球表面積的方法

2021-03-01 數學教學研究

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阿基米德求球表面積的方法

我們在不久前（其實就是猴年春節當天）給出過阿基米德求球體積的巧妙方法。如果你沒有讀過又想讀一讀，那就點開下面藍色字超連結吧：

有位小讀者非常喜歡數學，我們交流很多。他問過我球的表面積公式是什麼。


我當時跟他說，我過後先給出阿基米德求球體積的巧妙方法，然後，再給出求球表面積公式的方法。好的，本期就來做這件事，不辜負康博小朋友對本公眾號的厚愛。

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  本期特別獻給康博小朋友！ 

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下面介紹的方法也是由阿基米德給出的，也同樣很巧妙。我儘量把方法敘述得簡單明了，並且加入大量插圖來加以說明。語言力求通俗易懂，其實這種不成風格的敘述方式就是本公眾號一貫的做法。

球是由半圓繞其直徑旋轉而得來。所以，我們先處理一下半圓所在的圓。把圓周進行偶數等分。下圖所示為14等分。過後我們要繞其旋轉的直徑AH，是通過分割點的，即A和H都是分割點。


不難看出，圖中存在很多組平行線。從而，圖中構造出來的塗以顏色的三角形都是相似的。所以，有下面的比例關係：


從而有

連接BH，得三角形ABH。如下圖所示。


因為三角形ABH與這些有顏色三角形也相似，所以有


即


上面這個式子，以後還要用得著。

下面，我們把半圓ADH繞直徑AH進行旋轉，得到球。同時，折線ABCDEFGH跟著旋轉，也形成一個立體，這個立體的表面是由一些圓臺側面及兩頭圓錐的側面構成的。


我們取出一個圓臺側面（比如由BC繞直線AH旋轉形成的側面），求這個圓臺側面積。



上圖為圓臺側面展開圖，它的面積為


那麼，全部圓臺再加上兩頭圓錐的側面積的總和為


經化簡，它等於


前面我們已經得出


所以，由以上兩式，我們得出，圓臺和兩頭圓錐構成的立體的表面積為



如果我們把圓周分割得越來越密集，那麼由圓臺和兩頭圓錐構成的立體的表面積就接近於圓的表面積了。這時BH的長度趨近於AH的長度。所以，圓的表面積為

它正好是過球心大圓面積的4倍。

以上就是阿基米德求球表面積的方法，還是很巧妙的。微積分發明後，求球的表面積就很簡單了。但歷史的發展都是有前人鋪路，後人完善，數學就是這樣逐步發展進來的。

本文開始時，給了你一個超連結，可以查看阿基米德求球的體積的巧妙方法。那裡，我們證明了球的體積與緊緊套住它的圓柱體的體積之比是2：3。


而在本文中，我們剛才求出了球的表面積，它等於


而上圖中包圍球的圓柱體的表面積是多少呢？這個很好求：兩個底面面積之和，再加上圓柱的側面積：


可以看出，球的表面積與緊緊包圍它的圓柱體的表面積之比也為2：3。

真奇妙！


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