基於圓錐體的球表面積與球體積公式互推

2021-01-19 桂嘉偉

球表面積公式S=4𝜋R2和球體積公式V=4/3 𝜋R3（式中R為球體半徑）是中等數學的傳統教學內容之一，教科書的編者採用將球體分割為無數類圓錐體的方法對其進行推導。基於等積變換的方法將球體轉化為一個標準的圓錐體從而實現了球表面積公式與球體積公式的互推。

《全日制普通高等中學教科書（必修）數學》基於球體積公式已知的基礎通過分割、求近似和、化為準確和三步驟對球表面積的公式進行推導。然而，推導過程中所運用到的極限方法對於廣大未曾涉獵極限思維的中學生而言並不熟悉，這也給教師教學造成了一定難度。

古往今來，學者圍繞著球的表面積與體積的算法可歸納為實測、等積分割變形、類比推理轉換三大類。基於圓面積公式、圓錐體積公式通過等積變換將球體轉化為圓錐體，實現了球表面積公式與球體積公式的互相推導。該法簡潔形象新穎，富有美感，確保了圓與球的完整性從而吸引學生的興趣，教師可通過介紹等積變換、祖𣈶原理等思維避免教材中學生難以理解的極限方法。

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